The visco-capillarity kinetic condition for sonic phase transitions

We consider a model for phase transitions, in one space dimension. In a recent paper, [5], the author and M. Sablé-Tougeron have studied sonic phase boundaries for this model, by taking into account a kinetic relation. We prove here that both in the piecewise linear case and in a cubic case the assumptions that were made in [5] hold if the kinetic relation is provided by a visco-capillarity approach.

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Sunto Si considera un modello per le transizioni di fase, in una dimensione spaziale. In un recente lavoro, [5], l’autore e M. Sablé-Tougeron hanno studiato i bordi fase sonici per questo modello, prendendo in considerazione una relazione cinetica. Si prova qui che sia nel caso lineare a tratti che in un caso cubico le ipotesi fatte, in [5] sono verificate se la relazione cinetica è fornita da un approccio visco-capillare.

     

Descrizioni geometriche sintetiche di geometrie proiettive con caratteristicap >0

Sunto è ben noto che, per gli spazi proiettivi basati sopra un corpo commutativo, vale il teorema di Pappo e che, viceversa, per mezzo di questo teorema tali spazi possono essere coordinatizzati con un corpo commutativo K. Il teorema di Fano ci dice quando K non può essere di caratteristica p=2. Un altro teorema è: In piani proiettivi sopra corpi K con p=2, e soltanto in questi, si ha che: Le tangenti d'una conica, costruita nel modo sintetico consueto, passano per un punto fisso. Teoremi del genere per p ≠2 sembrano mancare finora, ma sono necessari per una costruzione pure sintetica della geometria algebrica. Il lavoro seguente conterrà siffatti teoremi. Entrata in Redazione il 14 giugno 1976.     

Diffusive-dispersive traveling waves and kinetic relations III. An hyperbolic model of elastodynamics

This is the third part of a series devoted to the existence, uniqueness, monotonicity, and asymptotic properties of the traveling wave solutions of diffusive-dispersive conservation law. In this part, we focus attention on a nonconvex hyperbolic model of two conservation laws arising in nonlinear elastodynamics and including nonlinear viscosity and capillarity terms. On one hand, using the techniques developed earlier, we study the properties of the corresponding classical and nonclassical shock waves and their corresponding kinetic relation. Several new features are found for this (hyperbolic) model: First of all, we distinguish here between a kinetic function and an inverse kinetic function; the latter is always globally defined but may fail to be globally invertible. Second, we show that shock waves with sufficiently small amplitude are always classical, for a fixed ratio of diffusion and dispersion. Third, we determine here the asymptotic behavior of the kinetic function for both shocks with large and small amplitudes.

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Sunto  Questa è la terza parte di una serie di lavori dedicati all'esistenza, unicità, monotonia e proprietà asintotiche delle soluzioni d'onda di propagazione per leggi di conservazione diffusive-dispersive. In questa parte, l'attenzione è focalizzata su un modello iperbolico non convesso di due leggi di conservazione che sorgono in elastodinamica non lineare, che tengono conto della viscosità non lineare e dei termini di capillarità. Da una parte, utilizzando le tecniche precedentemente sviluppate, studiamo le proprietà delle corrispondenti onde d'urto classiche e non classiche e le loro corrispondenti relazioni cinetiche. Diverse nuove proprietà sono state trovate per questo modello (iperbolico). Innanzitutto, qui distinguiamo tra una funzione cinetica ed una funzione cinetica inversa, quest'ultima essendo sempre definita globalmente ma possibilimente non sempre globalmente iinvertibile. In secondo luogo, mostriamo che onde d'urto con ampiezza sufficientemente piccola sono sempre classiche, per un valore fissato del rapporto tra diffusione e dispersione. In ultimo, determiniamo il comportamento asintotico della funzione cinetica per onde d'urto aventi sia ampiezza grande sia piccola.

     

Frontiere minimali con ostacoli

Riassunto Recentemente diversi autori (v. [15], [16], [17], [18], [19], [20]) si sono interessati di problemi di esistenza e di regolarità di soluzioni di problemi variazionali verificanti diseguaglianze. In questo articolo considereremo il caso delle ipersuperfici minimali (di area minima), più precisamente delle frontiere minimali nel senso diDe Giorgi (v. [2] o [3]). Il risultato di regolarità, che è quello che ci pare più interessante, è grosso modo il seguente:frontiere minimali rispetto ad un ostacolo di classe C ¹ sono di classe C¹ in un intorno dell'ostacolo stesso. Il Teorema 2 del § 3 contiene l'enunciato preciso di tale risultato. Nel § 2 si fanno alcune considerazioni sulla validità del teorema di Bernstein per le frontiere minimali, in esso si prova (v. il Teorema 1) che un insieme avente frontiera non vuota minimale inR ⁿ e contenente un semispazio è esso stesso un semispazio. Tale risultato serve per la dimostrazione del teorema 2. Nel § 1 sono contenuti alcuni complementi alla teoria delle frontiere minimali.

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Résumé On considère le problème des hypersurfaces minimales en présence d'obstacles. On prouve le résultat de regularité suivant: ?les hypersurfaces minimales en présence d'obstacles de classeC ¹ sont de classeC ¹ dans un environ de l'obstacle?.

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Lavoro eseguito nell'ambito dell'attività dei gruppi di ricerca del C.N.R. nell'anno 1970.     

Algebre Booleane e loro struttura interna analitica (funzionale e matriciale) e geometrica (metrica e topologica)

Sunto In un'algebra booleana finita si presenta il fatto nuovo che molte delle strutture in essa costruibili a partire dai suoi elementi, sono intimamente connesse, si da essere aspetti diversi della stessa cosa. Si rileva che funzioni intere (cioè quelle che si ottengono operando su una variabile booleana con le operazioni booleane) matrici, ideali, filtri (e le formazioni più ampie che sono gli intervalli) e classi di equivalenza, mostrano appunto questo allacciamento. Inoltre, ognuna di queste formazioni dà in sostanza origine ad altre algebre booleane o a queste isomorfe, o di queste qiù ampie. Quindi, in un certo senso, il campo booleano è completo, riproducendosi in sè per quasi tutte le strutture in esso fattibili. Ma vi è di piu. Se nella formulazione del concetto di misura si abbandona l'idea del numero, quale ? misura di estensione ?, riesce possibile stabilire un concetto di ? di stanza booleana ? di due elementi booleani, la quale soddisfi alla fondamentale relazione triangolare e alla condizione di annullarsi quando e solo quando gli elementi coincidono. Potremo perciò parlare di una metrica intrinseca di un'algebra diBoole; e attraverso opportune definizioni si può estendere questa metrica anche ad aggruppamenti di tre o quattro o più elementi. Ma definita che sia questa metrica ? interna ? viene anche definita, oltre la struttura algebrica, e quella di geometria metrica, una struttura topologica interna. Ed è appunto quanto esprimiamo im questo lavoro, ricollegandoci ad altri precedenti (*) A Enrico Bompiani in occasione del suo Giubileo scientifico     

Stability and bifurcations of symmetric periodic orbits

Se un problema Hamiltoniano integrabile non degenere, come si può ottenere dal problema dei due corpi in coordinate rotanti, è perturbato con una funzione potenziale simmetrica rispetto ad un asse, le proprietà di simmetria delle soluzioni consentono di semplificare la ricerca, di orbite periodiche. In tal modo si ottiene un teorema di continuazione delle orbite periodiche che fornisce più informazioni di quello classico. La funzione che descrive la simmetria delle orbite è genericamente una funzione di Morse, e le biforcazioni di orbite periodiche simmetriche possono essere descritte in termini di punti singolari e di valori critici di tale funzione. II problema ristretto dei tre corpi ed il problema del satellite in un potenziale non axisimmetrico sono trattati come esempi. Le stesse biforcazioni possono anche essere descritte come singolarità degeneri della funzione generatrice della trasformazione canonica associata all'applicazione di Poincaré, cioè al trascorrere di un periodo sinodico. In tal modo le proprietà di stabilità lineare delle orbite periodiche, la segnatura dei punti singolari della funzione generatrice e l'andamento qualitativo della funzione di simmetria appaiono correlate tra loro. Ne risulta la possibilità di predire, prima di qualsiasi esperimento numerico, non solo la struttura generica delle biforcazioni delle orbite periodiche simmetriche, ma anche la stabilità di tutte le orbite periodiche coinvolte.     

Sulle funzioni fortemente continue a valori in un gruppo topologico

In una nota del 1976 C. Constantinescu [2], fa osservare che per una misura μ, definita in un δ-anelloR, a valori in un gruppo topologico e non verificante la countable chain condition, i μ-atomi non sono identificati, come nel caso classico, da particolari elementi diR ma sono parti diR godenti di opportu vista è ripreso in [3] da A. B. d’Andrea e P. de Lucia per lo studio degli atomi di una funzione finitamente addittiva in un anello. Nella presente nota si fa vedere che (n. 2), dando un’opportuna definizione di insieme μ-atomico, un μ-atomo può sempre essere individuato da un elemento diR e si stabiliscono poi (n. 3) delle relazioni fra le funzioni fortemente continue e le funzioni prive di atomi. Nel n. 4, infine, sono dimostrate alcune proprietà delle funzioni a due valori.     

The internal sphere condition and the capillary problem

Sunto In un importante lavoro [1], M. Emmer ha dimostrato l’esistenza di superfici di equilibrio capillari, definite in domini con frontiera Lipschitziana, quando la costante di Lipschitz L e l’angolo di contatto γ soddisfano la relazione L<|tg γ|. Questa condizione, che è noto essere necessaria in generale, può essere troppo restrittiva in alcuni casi particolari. In questo lavoro la condizione di Emmer è sostituita da una ? condizione di sfera interna ?, che conduce ad una larga classe di domini che non rientrano nel risultato di Emmer. L’esiestenza di una soluzione è dimostrata anche nel caso γ=0, che non può essere trattato con il metodo di Emmer.

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Entrata in Redazione il 26 agosto 1975.

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This work was initiated while the former author was at Universit?t Bonn and at Università di Genova, and the latter author at Université de Paris VI as a Fellow of the Deutsche Forschungsgemeinschaft.     

Fondamenti della geometria sulle varietà algebriche

Sunto Vengono qui continuaté le ricerche dell'Autore, dal 1909 in poi, intorno alla geometria sopra una varietà algebrica del corpo complesso e si costruisce in particolare una esauriente teoria delle irregolarità della varietà, fondata sia sopra una loro definizione geometrico-topologica, come sopra una loro definizione trascendente, stabilendosi inoltre l'equivalenza delle definizioni. A Giovanni Sansone nel suo 70^mo compleanno. Questa Memoria, preparata in occasione del giubileo scientifico del CollegaGiovanni Sansone, ed a lui dedicata, vuole anzitutto attestare la mia, anzi la nostra gratitudine, verso chi mi è stato efficientissimo Condirettore per tanti anni, fin da quando cioè, per una deplorevole disposizione, restai solo nel Comitato Scientifico degli ? Annali ?, divenendone automaticamente, senza mia volontà, unico Direttore. Il Prof.Sansone fu il primo, in ordine di tempo, che scelsi per associarlo a me nella Direzione dell'antico e celebrato periodico. Con lui, a nostra volta, scegliemmo d'accordo, a mano a mano, per successive cooptazioni, gli altri Colleghi. All'abilità e alla solerzia tecnico-organizzativa di lui, siamo quasi interamente debitori dell'odierno prestigio e dell'attuale diffusione del nostro Periodico, oggi patrimonio prezioso, materiale e morale, della matematica italiana. La Memoria è stata preannunciata da una I Nota riassuntiva, contenente però quasi tutto l'essenziale, pubblicata nei Rendiconti dell'Accademia Nazionale dei Lincei, seduta del 9 maggio 1959, e da una II Nota pubblicata nei Rendiconti della stessa Accademia, seduta del 14 settembre 1959. I fondamenti della parte più moderna della geometria sopra una varietà (dell'ordinario corpo complesso) i cui inizi spettano, come ben si sa, aNoether, furon posti in luce dalle seguenti Memorie dall'A. e da quelle di altri, con esse più o meno immediatamente collegate. Citazioni più circostanziate trovansi nelle Memorie cui alludiamo dell'A., e cioè:Fondamenti per la geometria sulle varietà algebriche: I contributo, Rend. del Circolo Matematico di Palermo, 1909. —Fondamenti per la geometria sulle varietà algebriche: II Contributo, Annali di Matematica, 1951. —Fondamenti per la geometria sulle varietà algebriche: III Contributo, Annali di Matematica, 1956. Ivi son richiamate anche le Note preliminari dei Comptes Rendus, 1955, 1956, sulle forme differenziali di 1^a specie. —Fondamenti per la geometria sulle varietà algebriche: IV Contributo. La teoria delle irregolarità delle varietà algebriche, Rend. Acc. Naz. dei Lincei, 1956. —Fondamenti per la geometria sulle varietà algebriche: V Contributo. Ancora sulla teoria delle irregolarità, Memorie dall'Accademia Nazionale dei XL, 1957–58. I risultati della presente Memoria potranno essere confrontati con quelli conseguiti daE. Marchionna nell'Appendice ch'egli, aderendo alla mia richiesta, ha aggiunte alla fine del mio Trattato citato nella nota (²) a piè della pag. 3 della presente Memoria (precisamente l'Appendice diMarchionna va da pag. 395 in poi). Il Trattato ha potuto essere completamente stampato, mercè la solerte cooperazione di lui, sia pel coordinamento d'una parte della materia, come per la correzione d'una buona metà delle bozze del volume, ch'egli ha preso in consegna quando il dattiloscritto non era neppure composto tipograficamente per intero. Per tutto ciò rinnovo qui al Prof.Marchionna l'espressione della mia viva gratitudine, alla quale si associeranno di certo quanti troveranno nel volume qualcosa di utile pei progressi della geometria algebrica, sia nel dominio classico, come in quello astratto. A proposito dei risultati contenuti nell'Appendice IV, devo ricordare che la relazione fra la somma dalle due ultime irregolarità diV _d, la deficienza del sistema canonico parziale staccato sopra una ipersuperficieE elementare, dal proprio sistema aggiunto |E' |, nonchè la sovrabbondanza del sistema |E' | viene conseguita pure per via algebrico-geometrica, diversa da quella qui esposta, nella pag. 429 dell'Appendice predetta e precedentemente nel lavoro diMarchionna Sul teorema di Riemann-Roch, ecc. (Nota III), Lincei, 1958, p. 673. Una delle vie indicate daMarchionna, onde pervenire alla relazione cui s'allude, presuppone tuttavia, in un secondo tempo, il teorema (diKodaira) di regolarità dell'aggiunto. Questosecondo modo di deduzione permette di ottenere più rapidamente il risultato, ed ha il vantaggio di conseguirlo più in generale, in relazione ad una generica ipersuperficieA non singolare, tracciata sopra unaV _d, priva di punti multipli; mentre qui (come nella Nota lincea preventiva) c'interessa di conseguire la relazione, di cui al successivo n. 2, con una dimostrazione del tutto autonoma. nel quadro della geometria algebrica classica, in quanto sopra la relazione cui si allude, noi vogliamo dipoi poggiare la deduzione di parecchie altre proprietà, stabilite daKodaira con mezzi di analisi, che si allontanano molto dal quadro predetto. Di ciò diremo più ampiamente nella presente Memoria e nelle Memorie che continueranno la presente.     

The algebraic behaviour of the weyl tensor in the geometrical optics approximation

Sunto In questo lavoro si studia la propagazione di un'onda gravitazionale nel vuoto, nell'approssimazione dell'ottica geometrica. Viene esaminato il tensore di Weyl dell'onda all'ordine zero e all'ordine uno della serie che rappresenta l'approssimazione dell'ottica geometrica. Questi termini sono gli unici invarianti per le trasformazioni infinitesime che preservano la forma dell'espansione del tensore metrico (trasformazioni di gauge). Perciò sono gli unici ad avere un significato fisico, cioè ad essere misurabili indipendentemente dalla convergenza della serie che li definisce. Viene caratterizzato il tipo algebrico del tensore di Weyl a questi due ordini in termini degli scalari ottici associati alla congruenza dei raggi su cui l'onda si propaga.

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Entrata in Redazione l'8 luglio 1975.     

Correnti positive: Uno strumento per l’analisi globale su varietà complesse

Lo scopo di questo testo è di presentare i temi principali riguardanti le correnti positive su varietà complesse. L’importanza di questo strumento, per coloro che studiano geometria complessa, è evidente; tuttavia non è semplice tenere le fila di una grande quantità di contributi sull’argomento, alcuni dei quali sono ormai pietre miliari su questa via. Vorremmo quindi delineare una “mappa” dei contributi che ci sono sembrati particolarmente significativi; per ovvie ragioni, rimandiamo ai test originali non appena si voglia entrare nel merito dei singoli argomenti. Lo scritto è composto di due parti (oltre a una appendice dedicata al lettore che affronta per la prima volta il tema delle correnti positive): nella prima si trattano principalmente i temi in riferimento alle correnti positive e chiuse, storicamente la classe più importante di correnti per le varietà complesse, in quanto generalizzazione naturale delle sottovarietà. Nella seconda si espongono risultati su correntiT positive pluriarmoniche o plurisubarmoniche, cioè caratterizzate da una condizione imposta alla corrente $i\partial \bar \partial T$ , e naturali generalizzazioni delle funzioni plurisubarmoniche, nonché delle correnti chiuse. Questa scelta è motivata nel primo capitolo della seconda parte, partendo dall’ormai classico teorema di R. Harvey e J.R. Lawson che caratterizza tramite correnti positive e pluriarmoniche l’esistenza di metriche kähleriane su varietà compatte.     

Teoria analitica del campo elettromagnetico

Sunto Nell’Introduzione si illustra l’opportunità di fondare la teoria matematica del campo elettromagnetico sullo studio degli integrali dell’equazione rot K+mK=Φ, con m costante complessa non nulla. Una tale scelta si manifesta infatti particolarmente adatta ai problemi posti dalla tecnica delle onde elettromagnetiche. La Teoria dell’equazione omogenea rot K+mK=0 può essere sviluppata secondo due indirizzi, uno integrale e l’altro fondato sullo sviluppo del vettore K in serie di opportune funztoni. Ciò in analogia con quanto avviene nella Teoria delle funzioni analitiche di una variabile complessa. La presente memoria appartiene totalmente all’indirizzo integrale. Nella Parte Prima si deduce un’espressione integrale la quale fornisce il valore assunto dal vettore K in un punto di un dominio regolare a partire dalla conoscenza dei valori da esso assunti sul contorno. Si esaminano le proprietà della relazione integrale stabilita. Fra l’altro si deduce che quando un integrale dell’equazione rot K+mK=0 è continuo in un campo con le sue derivate parziali prime esso vi è analitico. Nella Parte Seconda si stabilisce una condizione necessaria e sufficiente affinchè esista in un dominio V di contorno S un vettore K, continuo in V, soddisfacente in V — S all’equazione rot K+mK=0 (m non reale) e riducentesi sul contorno a un vettore G assegnato. La condizione ottenuta è una relazione integrale fra i valori assunti da G sul contorno S di V. La Parte Terza è dedicata alla traduzione in equazioni integrali dei problemi posti dall’elettromagnetismo. Le equazioni integrali si riferiscono ai valori assunti dai campi elettrico e magnetico sulle superfici di separazione dei diversi mezzi, ciascuno dei quali omogeneo e isotropo, nei quali il campo elettromagnetico si estende. I teoremi stabiliti nella prima e seconda parte della memoria consentono di affermare la necessità e la sufficienza delle equazioni integrali scritte. In tutta la memoria, accanto all’equazione rot K+mK=Φ, viene pure considerato il sistema di equazioni rot K=Φ, div K=f relativo ai campi statici.     

Sugli insiemi di grandezze meccaniche derivate

Riassunto Si dà innanzi tutto un cenno del procedimento mediante il quale un insieme di grandezze meccaniche dotate di misura positiva può essere derivato da altri insiemi dello stesso tipo, per mezzo di una funzione generatrice che dipende dalle misure delle grandezze. Si stabilisce quindi la condizione necessaria e sufficiente che deve essere soddisfatta dalla funzione generatrice affinchè essa dia luogo ad insiemi indipendenti dalla scelta delle unità per le grandezze da cui sono derivati. Le soluzioni di un'equazione funzionale forniscono l'espressione di tutte le funzioni generatrici che soddisfano la precedente condizione di invarianza, insieme ad una condizione necessaria riguardante la osservabilità delle grandezze derivate. La trattazione è infine estesa alle grandezze dotate di misura algebrica.

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Summary An outline is first given of the process which is followed to derive a set of mechanical quantities with positive measure from other sets of the same type, by means of a generating function depending upon the measures. The necessary and sufficient condition is then found which must be satisfied by the generating function, to give rise to sets independent from the units chosen for the quantities from which they are derived. The solutions of a functional equation give the expression of all the generating functions which satisfy the above invariance condition, together with a necessary condition concerning the observable character of the derived quantities. The theory is finally extended to quantities with algebraic measures.

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A Dario Graffi nel suo 70^o compleanno

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Entrata in Redazione il 28 giugno 1975.     

Guido Castelnuovo: Documents for a Biography

In recent years it has been possible to begin the study of the archive of Guido Castelnuovo, one of the most important mathematicians of the Italian school of algebraic geometry. The archive contains a large scientific correspondence, only partially examined, and all the notebooks of lectures given by Castelnuovo in the courses of the last two years of the Italian degree (Laurea) in mathematics. In this paper we discuss the notebooks of the lectures. The history of the Italian school of algebraic geometry is greatly illuminated by this recent discovery. Copyright 2001 Academic Press.Da alcuni anni è in corso lo studio dell'archivio di Guido Castelnuovo, uno degli esponenti più importanti della scuola italiana di geometria algebrica. Oltre ad una ricca corrispondenza scientifica, solo in parte esaminata, sono stati ritrovati recentemente tutti i quaderni delle lezioni dei corsi che Castelnuovo tenne per il secondo biennio della Laurea in matematica. In questo articolo diamo una prima descrizione di questi quaderni. Importanti aspetti della storia della scuola italiana di geometria algebrica possono essere chiariti alla luce di questi nuovi documenti. Copyright 2001 Academic Press.MSC 1991 Subject Classifications: 01A55, 01A60, 01A72, 01A73.     

On nonlinear plane vibration of a moving threadline

We consider plane vibrations of a moving threadline described by the model equations obtained in [1]. We study the propagation of weak discontinuities and their interaction with shock waves. We show that the only possible shocks satisfying the Lax conditions [3] and the evolutionary condition of Brun [9] are the characteristic shocks.

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Riassunto Vengono considerate le vibrazioni piane di un filo flessibile descritte dalle equazioni ottenute in [1], Viene studiata la propagazione di onde di discontinuita' e la loro interazione con un'onda d'urto. Viene anche mostrato che gli unici urti possibili che soddisfano le condizioni di Lax [3] e la condizione di evoluzione di Brun [9] sono gli urti caratteristici.

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This work was supported by C.N.R. through G.N.F.M. and by M.P.I, through Fondi del 40% e 60% per la Ricerca Scientifica.     

Sulle equazioni ellittiche del secondo ordine di tipo non variazionale,a coefficienti discontinui

Sunto Si dimostrano alcuni teoremi di regolarizzazione per le soluzioni dei problemi di Dirichlet e di Neuman relativi ad equazioni ellittiche del secondo ordine di tipo non variazionale, a coefficienti discontinui. Come applicazione si danno anche alcuni teoremi di esistenza per le soluzioni dei detti problemi al contorno relativi ad equazioni lineari e non lineari. Lavoro eseguito nell'ambito dell'attività dei Gruppi di ricerca matematica del C N.R., Alcuni dei risultati ottenuti in questa memoria sono stati comunicati in due conferenze tenute l'una a Roma il 2 Aprile 1963 presso l'Istituto Nazionale di Alta Matematica e l'altra a Milano il 23 Aprile 1963 presso il Seminario Matematico e Fisico; per la seconda vedi [14]     

Scales of ε-uniform a priori estimates for nonstationary convection-dominated diffusion problems

Convection-diffusion problems of practical interest are often convection-dominated in the sense that the diffusion parameter ε satisfies 0<ε≪1. Standard error estimates for numerical approximations of such problems mostly contain constants which depend either reciprocally on ε or at least on higher order norms of the solution. These norms possibly increase to infinity in the hyperbolic limit ε→0. For the Lagrange-Galerkin scheme such error estimates have been proven by Douglas and Russell, Pironneau or Süli. In the particular case of the Navier-Stokes equations Johnson, Rannacher and Boman have observed that some of those constants which arise in existing analyses depend exponentially on the Reynolds number. Consequently, standard error analyses have no real meaning in the case of convection-dominance. Recently, Bause and Knabner have developed a rigorous ε-uniform convergence theory for finite element and Lagrange-Galerkin approximations of convection-dominated diffusion problems. The error analysis is heavily based on ε-uniform a priori estimates for the solution of the continuous problems. In their work such ε-uniform estimates are established in the Sobolev spacesL ²(Ω) andH ²(Ω) in a Lagrangian framework by transforming the convection-diffusion problem into subcharacteristic coordinates. To obtain the ε-uniformH ²-bound, strong conditions about the right-hand side which cannot realistically be assumed in practice are supposed. In this paper we demonstrate how the method of complex interpolation of Banach spaces can be employed to derive elegantly ε-uniform a priori estimates in intermediate Sobolev spaces of fractional order. We will observe that in particularH ^α-regularity of the data has to be supposed to get an ε-uniformH ^α-bound for the solution. To derive the desired estimates we use several complex interpolation results which we provide first.

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Sunto I problemi di convezione-diffusione di interesse applicativo sono spesso convezione-dominati, nel senso che il parametro di diffusione ε soddisfa 0<ε≪1. Le stime standard dell’errore nelle approssimazioni numeriche di tali problemi generalmente contengono costanti che dipendono o reciprocamente da ε o almeno da norme più elevate della soluzione. Queste norme possono tendere all’infinito nel limite iperbolico ε→0. Queste stime sono state determinate, per lo schema di Lagrange-Galerkin, da Douglas e Russell, Pironneau o Süli. Nel caso particolare delle equazioni di Navier-Stokes, Johnson, Rannacher e Boman hanno osservato che alcune di queste costanti dipendono esponenzialmente dal numero di Reynolds. Di conseguenza, l’analisi standard dell’errore non è significativa nel caso di dominanza della convezione. Recentemente, Bause e Knabner hanno sviluppato una teoria rigorosa della ε-convergenza per le approssimazioni agli elementi una teoria rigorosa della ε-convergenza per le approssimazioni agli elementi finite e per quelle di Lagrange-Galerkin relativamente a problemi di diffusione convezione-dominati. l’analisi dell’errore è pesantemente basata su stime a priori ε-uniformi per la soluzione dei problemi continui. In quel lavoro, tali stime sono stabilite negli spazi di SobolevL ²(Ω) eH ²(Ω) in rappresentazione Lagrangiana trasformando il problema di convezione-diffusione in coordinate sub-caratteristiche. Per ottenere la stima ε-uniforme inH ²(Ω), si fanno delle ipotesi stringenti sul secondo membro le quali possono non essere realisticamente assunte nella pratica. In questo lavoro mostriamo come il metodo dell’interpolazione complessa degli spazi di Banach possa essere usato per ottenere eleganti stime a priori ε-uniformi in spazi di Sobolev ad esponente frazionario. In particolare, osserveremo che per ottenere una stima ε-uniforme inH ^α per la soluzione occorre assumereH ^α regolarità sui dati. Per derivare le stime desiderate facciamo uso di diversi risultati di interpolazione complessa che vengono forniti.

     

A bifurcation result for a Dirichlet problem with discontinuous nonlinearity

In questo lavoro si considera un problema di Direchlet con nonlinearità discontinua; risultati di esistenza e molteplicità di soluzione per problemi di questo tipo sono stati dati in [A-B], [A-T] utilizzando il principio di azione duale di Clarke; in questo lavoro, invece, si introduce un problema multivoco associato al problma in modo naturale e si dimostra, utilizzando una variante del teorema di biforcazione globale di Rabinowitz che poggia sul grado multivoco ([C-L]), che per esso esiste un ramo globale di biforcazione.     

Qualche osservazione sui problemi totalmente reali

Riassunto Si introduce la nozione di “problema enumerativo complesso totalmente reale”: essa caratterizza problemi enumerativi le cui soluzioni, in un qualche aperto dello spazio dei parametri, sono tutte reali. Si dimostra una condizione necessaria e sufficiente affinchè un problema enumerativo complesso sia totalmente reale e vengono forniti esempi di tali problemi.

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Summary In this paper we give the definition of “totally real enumerative problem”. This notion characterises those complex enumerative problems which have, on some open set of the parameter space, all real solutions. We prove a necessary and sufficient condition, for an enumerative problem, to be a totally real one and we give some examples of problems of this kind.

     

Approssimazioni quadratiche nei dominiP-adici

Sunto Si studiano le condizioni sotto le quali un intero P-adico β può essere indefinitamente approssimato (secondo la metrica introdotta dalla valutazione P-adica) con la forma quadratica x²-αy² (dove α è un intero P-adico prefissato) al variare di x, y interi ordinari. Lo studio conduce alla determinazione delle condizioni necessarie e sufficienti per tale approssimabilità e in particolare alla caratterizzazione dei numeri α per i quali l’insieme dei valori assunti dalla forma risulta ovunque denso sul dominio P-adico considerato.