Sistemi di circuiti tracciati su una superficie omeomorfa al toro e loro modelli algebrici

Sunto Si studiano i sistemi di circuiti tracciati su una superficie omeomorfa al toro, di fronte all'omologia unidimensionale. Si ravvisa che ad una classe d'omologia compete un solo invariante topologico, che è un intero d ≥ 0 qui denominato ?grado? della classe. Esso fornisce altresì il minimo numero di circuiti non intrecciati e disgiunti che intervengono in un ciclo della classe; inoltre, trascurando il valore d = 0 che risponde alla classe dei cicli omologhi a zero, si trova che d −1 è il minimo numero di punti doppi posseduti da un circuito il quale, orientato, sia un ciclo di una classe di grado d. Anche si costruiscono modelli di cicli, appartenenti a classi diverse, col minimo numero di mutue intersezioni. Infine si costruiscono in ogni classe modelli algebrici (cioè realizzati con le parti reali di curve algebriche reali) soddisfacenti a requisiti di minimo. Lavoro eseguito nell'Istituto di Geometria dell'Università di Pavia, nell'ambito del Gruppo di ricerca N. 32 (?Questioni di realità che offrono gli enti algebrici?) del Consiglio Nazionale delle Ricerche (Comitato per la Matematica).     

Sul problema di Goursat per le equazioni del tipo iperbolico non lineari

Sunto Si considera l'equazione alle derivate parziali del secondo ordinedi tipo iperbolico non lineare: (1) F(x, y; z; p, q; r, s, t)=0 (F _s ²−4F _r F _t >0). Per tale equazione si risolvecon un nuovo metodo il problema di Goursat, cioè si dimostra cheesiste uno e un solo integrale della (1), che assume valori assegnati su due archi di curve passanti per uno stesso punto. Si considerano separatamente il caso in cui le due curve si incrociano nel punto commune e quello in cui hanno un estremo in comune, e si studia il campo d'esistenza dell'integrale.     

Nuova trattazione di problemi al contorno di una striscia per l'equazione di Laplace in due variabili

Sunto In questo lavoro si applica il ? Metodo della trasformata parziale diLaplace ad intervallo di integrazione finito ? delPicone nel problema al contorno, di una striscia piana illimitata, relativamente alla equazioneΔ ₂ u(x, y)=f(x,y), quando sono imposte due combinazioni lineari a coefficienti costanti nelleu, , lungo i due lati della striscia Si mostra come il metodo sia atto a stabilire, in casi generalissimi, non risolti coi metodi ordinari, il teorema di esistenza ed unicitù. Si accennano poi i risultati in casi particolari notevoli. Lavoro eseguito presso l'Istituto Nazionale per le Applieazioni del Calcolo.     

Sulla composizione secondo Hurwitz-Pincherle di due serie di potenze generalizzate

Sunto In questa Nota sı dimostra un teorema riguardante la collocazione sulla superficie riemanniana dilog z delle singolarità della funzione composta secondoHurwitz-Pincherle di due serie di potenze generalizzate. Con questo teorema viene messa in luce l'influenza che ha, sulle singolarità della funzione composta, il fatto che un punto z sia singolare per una sola o soltanto per alcune oppure per tutte le determinazioni di una delle funzioni componenti.

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Summary In this paper we are concerned with the singular points on the Riemann surface oflog z of theHurwitz-Pincherle composed function h(z) of two irregular power series a(z) and b(z). A point z=z₀ can be a singular point for only one or for some and also for all the branchs of a(z) (or b(z)): we explain, by the theorem given in this Note, the influence of this fact on the singularities of h(z).

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Lavoro eseguito nell'ambito dell'attività del Gruppo di ricerca n. 40 del Comitato per la Matematica del C. N. R. per l'anno 1962–63.     

Su un problema di frontiera libera connesso a questioni di idraulica

Sunto Si dimostra esistenza e unicità della soluzione di un problema di frontiera libera che traduce il moto di filtrazione di liquidi attraverso mezzi porosi. Il problema è ricondotto alla minimizzazione di un funzionale quadratico su un convesso chiuso di uno spazio di Hilbert, il che fornisce anche dei procedimenti per l'approssimazione numerica del problema stesso. Entrata in Redazione il 16 dicembre 1971. Indirizzo dell'autore:C. Baiocchi, Istituto di Matematica, Università, Pavia. Questo lavoro è stato eseguito nell'ambito delle attività del Laboratorio di Analisi Numerica del C.N.R. di Pavia; i risultati qui ottenuti sono stati annunciati in una nota preventiva sui C. R. Acad. Sc. Paris, t. 273, pp. 1215–1217.     

Soluzione approssimata di un'equazione integrale di Cantelli

Sunto. Nel presente lavoro si studia l'equazione integrale che il Prof.F. P. Cantelli stabili nella Sua memoria ? Sullo schema Lexiano della dispersione ipernormale ?, nel 1918 e pubblicata negli Atti della Accademia dei Lincei. Si pongono le basi di un metodo per la sua risoluzione, e se ne determina una soluzione approssimata che, nell'ambito delle pratiche applicazioni, assicura l'esistenza di una variabile casuale gaussianaY, la cui precisione dipendendo dal valore assunto da un'altra assegnata gaussianaX, sia tale che la variabile sommaX+Y sia pur essa gaussiana.     

Sull'equivalenza tra matrici normali di Severi

Sunto Si tratta il problema di determinare se e in quali casi gli interi caratteristici p, δ₁, δ₂, ρ e i divisori elementari delle matrici normali diSeveri equivalenti ad una prefissata matrice ω dello stesso tipo possono essere diversi da quelli della ω. Il problema è risolto completamente se p=ρ ovvero se p=ρ+1; è risolto per le matrici generiche se p>ρ+1.     

I sottogruppi del gruppo modulare con coefficienti del corpo di Jacobi-Eisenstein e un teorema sui gruppi finiti

Sommario Introduzione — § 1 – 1. L'indice μ(n) dei sottogruppi Г_μ(n) del gruppo Γ di sostituzioni lineari unimodulari con coefficienti del campo diJacobi-Eisenstein — 2. Il poliedro fondamentale del sottogruppo Г_μ(1−ε) — § 2 – 3. I campi fondamentali dei gruppi Г_μ(n) — 4. Impossibilità di limitare con un numero finito di piani e sfere di riflessione i poliedri fondamentali dei gruppi Г_μ(n), conn intero razionale pari, diverso da 2 — § 3 – 5. Relazioni fondamentali fra le sostituzioni generatrici del gruppo di sostituzioni lineari con coefficienti del corpo K_ε con determinante ±1 — § 4 – 6. Sulla indipendenza delle sostituzioniS,T,U, generatrici del gruppo finito G_2μ(n) e sulle loro relazioni caratteristiche nel gruppo G_2μ(n) — § 5 – 7. Dimostrazione del teorema fondamentale sui gruppi G_2μ(n). Lemmi preliminari — 8, Dimostrazione del teorema fondamentale nel caso di moduli primi con 2(1−ε) — § 6 – 9. Il teorema fondamentale per i modulim(1−ε), 3m, 2m, 2m(1−ε), 6m conm primo con 6 – 10. Immagine geometrica dei gruppi G_2μ(1−ε) — § 7 – 11. Il gruppo delle sostituzioni unimodulari , [c/1+4ma]=+1, e il caso eccezionale dei moduli 4m – 12. Il gruppo delle sostituzioni unimodulari [c/1+3m(1−ε)a]₃=+1 e il caso eccezionale dei moduli 3(1−ε)m.     

Intorno ad un teorema di Hodge sulla teoria della base per le curve di una superficie algebrica

Sunto Si dimostra, con procedimento algebrico-geometrico assai semplice, un teorema diHodge sulla teoria della base per le curve tracciate sopra una superficie algebrica; da questo si traggono poi varie conseguenze, concernenti i gradi virtuali delle curve di una superficie algebrica o delle corrispondenze fra due curve algebriche, il principio di degenerazione diEnriques, e la teoria diSeveri delle corrispondenze fra due superficie algebriche.     

Soluzioni quasi-periodiche,o limitate,di sistemi differenziali non lineari quasi-periodici,o limitati

Sunto Si dimostra, per i sistemi quasi-periodici non lineari, un teorema di esistenza di soluzioni quasi-periodiche, estendendo un risultato diJ. Favard, relativo ai sistemi lineari. Successivamente si studia il comportamento asintotico degli integrali dell'equazione X″ = − AX − φ(X′) + F(t), tipica nella teoria delle oscillazioni non lineari, con un numero qualsiasi di gradi di libertà, supponendo la funzione F(t) limitata, o quasiperiodica. Si ottiene così, tra l'altro, una applicazione del teorema di esistenza precedentemente provato. A Mauro Picone nel suo 70^mo compleanno. Istituto Matematico del Politecnico di Milano.     

Sul problema preliminare di una classica questione di calcolo delle variazioni

Sunto L'Autore fa la trattazione rigorosa del problema preliminare relativo alla classica questione di minimizzare l'integrale , (n>0). Fissato un puntoP ₀ del piano, determina l'insiemeE nel quale bisognerà assegnare un secondo punto P, che possa essere congiunto aP ₀ mediante un estremale Γ relativa a ℑ. Dà l'equazione della frontiera Γ* diE e ne studia l'andamento e le relazioni con le estremali uscenti daP ₀. Dimostra che perP ₀ e per un puntoP diE passa una sola estremale (non estremante) seP è in Γ*, ne passano due seP è interno aE, e assegna il criterio per decidere quale delle due può realizzare il minimo per ℑ.     

Su una questione di statica proposta dal Malfatti

Riassunto Si considera un corpo pesante appoggiato inm punti ad un piano orizzontale; è noto che le equazioni cardinali della statica, salvo nel casom≤3, non sono sufficienti, in generale, per determinare le reazioni Φ_i (i=1, 2, …,m) degli appoggi. Valendosi di analogia col casom=3Malfatti (1731–1807) ha proposto formule [4] per Φ_i valide per ognim. Queste formule soddisfano l'equazione per il risultante, ma non sembra che Malfatti verifichi quella per il momento, verifica che non risulta immediata. In questa nota, scritte le formule di Malfatti in forma moderna, si osserva che esse si possono suddividere in due parti ε₁ ed ε₂ (ε₂ fino a 4 lati), e si dimostra che i termini di ε₁ soddisfano per ognim anche l'equazione dei momenti mentre, per i termini di ε₂ (meno intuitivi dal punto di vista fisico) si è limitata la verifica al caso del pentagono e dell'esagono. In sostanza, almeno considerando i corpi rigidi, si conferma la intuizione di Malfatti.

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Summary We consider a heavy body leaned against a horizontal plane onm pointsA _i; it is known that the statics equations, except the casem≤3, are not sufficient in general to determine the reaction forces reazioni Φ_i(i=1,…,m) at pointsA _i. Generalizing the casem=3,Malfatti (1731–1807) have the formulas [4] to obtain ε_i for everym. He proves that these formulas verify the resultant equation, but he does not show clearly that the moment equation is fulfilled too. In this paper we write the Malfatti formulas in a modern form, and we observe that it is possible to decompose them in two parts ε₁ and ε₂ (ε₂ form→-4). Moreover we demonstrate that ε₁ satisfies also the moment equation for everym, while we show that ε_i is solution also of this equation when one consider the pentagon and hexagon cases.

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Ricerca svolta con i fondi del M.P.I.—quota 40%. Gruppo di ricerca: Problemi di evoluzione nei solidi e nei fluidi.     

Applicazione del metodo numerico alla ricerca delle frequenze di vibrazione libera di strutture lineari

Sunto. La frequenza di vibrazione libera di un sistema elastico, come il valore del carico critico, può definirsi mediante un rapporto, ω², da rendere minimo mediante l'opportuna determinazione di una funzione η (configurazione). I metodi approssimati per la soluzione di questo problema variazionale — metodo di Ritz e delle successive approssimazioni — possono essere applicati, anche in questo caso, rappresentando le funzioni η numericamente, con poche differenze rispetto al caso già visto dell' instabilità. Si tratta di definire un appropriato termine correttivo, per eliminare l'errore dovuto alla discontinuità della rappresentazione numerica, e di giungere, attraverso un particolare procedimento, a determinare anche i valori delle prime armoniche dopo la frequenza fondamentale.     

Estensione delle formule di Eulero e di Lambert ai moti centrali hamiltoniani

Sunto Le formule diEulero e diLambert dànno il tempo di percorrenza di un arco parabolico o ellittico, descritto da un punto che si muove di moto centrale rispetto al fuoco della parabola o a un fuoco della ellisse, sicchè la forza mo’rice segue la legge newtoniana. Quelle formule vengono estese in questa nota ai casi in cui il moto del punto, ancora parabolico o ellittico, è centrale non più rispetto al fuoco della parabola o a un fuoco della ellisse, ma rispetto a un punto qualsiasi, sicchè la forza motrice segue la legge hamiltoniana. Ad Antonio Signorini nel suo 70^mo compleanno.     

Fondamenti della geometria sulle varietà algebriche

Sunto Vengono qui continuaté le ricerche dell'Autore, dal 1909 in poi, intorno alla geometria sopra una varietà algebrica del corpo complesso e si costruisce in particolare una esauriente teoria delle irregolarità della varietà, fondata sia sopra una loro definizione geometrico-topologica, come sopra una loro definizione trascendente, stabilendosi inoltre l'equivalenza delle definizioni. A Giovanni Sansone nel suo 70^mo compleanno. Questa Memoria, preparata in occasione del giubileo scientifico del CollegaGiovanni Sansone, ed a lui dedicata, vuole anzitutto attestare la mia, anzi la nostra gratitudine, verso chi mi è stato efficientissimo Condirettore per tanti anni, fin da quando cioè, per una deplorevole disposizione, restai solo nel Comitato Scientifico degli ? Annali ?, divenendone automaticamente, senza mia volontà, unico Direttore. Il Prof.Sansone fu il primo, in ordine di tempo, che scelsi per associarlo a me nella Direzione dell'antico e celebrato periodico. Con lui, a nostra volta, scegliemmo d'accordo, a mano a mano, per successive cooptazioni, gli altri Colleghi. All'abilità e alla solerzia tecnico-organizzativa di lui, siamo quasi interamente debitori dell'odierno prestigio e dell'attuale diffusione del nostro Periodico, oggi patrimonio prezioso, materiale e morale, della matematica italiana. La Memoria è stata preannunciata da una I Nota riassuntiva, contenente però quasi tutto l'essenziale, pubblicata nei Rendiconti dell'Accademia Nazionale dei Lincei, seduta del 9 maggio 1959, e da una II Nota pubblicata nei Rendiconti della stessa Accademia, seduta del 14 settembre 1959. I fondamenti della parte più moderna della geometria sopra una varietà (dell'ordinario corpo complesso) i cui inizi spettano, come ben si sa, aNoether, furon posti in luce dalle seguenti Memorie dall'A. e da quelle di altri, con esse più o meno immediatamente collegate. Citazioni più circostanziate trovansi nelle Memorie cui alludiamo dell'A., e cioè:Fondamenti per la geometria sulle varietà algebriche: I contributo, Rend. del Circolo Matematico di Palermo, 1909. —Fondamenti per la geometria sulle varietà algebriche: II Contributo, Annali di Matematica, 1951. —Fondamenti per la geometria sulle varietà algebriche: III Contributo, Annali di Matematica, 1956. Ivi son richiamate anche le Note preliminari dei Comptes Rendus, 1955, 1956, sulle forme differenziali di 1^a specie. —Fondamenti per la geometria sulle varietà algebriche: IV Contributo. La teoria delle irregolarità delle varietà algebriche, Rend. Acc. Naz. dei Lincei, 1956. —Fondamenti per la geometria sulle varietà algebriche: V Contributo. Ancora sulla teoria delle irregolarità, Memorie dall'Accademia Nazionale dei XL, 1957–58. I risultati della presente Memoria potranno essere confrontati con quelli conseguiti daE. Marchionna nell'Appendice ch'egli, aderendo alla mia richiesta, ha aggiunte alla fine del mio Trattato citato nella nota (²) a piè della pag. 3 della presente Memoria (precisamente l'Appendice diMarchionna va da pag. 395 in poi). Il Trattato ha potuto essere completamente stampato, mercè la solerte cooperazione di lui, sia pel coordinamento d'una parte della materia, come per la correzione d'una buona metà delle bozze del volume, ch'egli ha preso in consegna quando il dattiloscritto non era neppure composto tipograficamente per intero. Per tutto ciò rinnovo qui al Prof.Marchionna l'espressione della mia viva gratitudine, alla quale si associeranno di certo quanti troveranno nel volume qualcosa di utile pei progressi della geometria algebrica, sia nel dominio classico, come in quello astratto. A proposito dei risultati contenuti nell'Appendice IV, devo ricordare che la relazione fra la somma dalle due ultime irregolarità diV _d, la deficienza del sistema canonico parziale staccato sopra una ipersuperficieE elementare, dal proprio sistema aggiunto |E' |, nonchè la sovrabbondanza del sistema |E' | viene conseguita pure per via algebrico-geometrica, diversa da quella qui esposta, nella pag. 429 dell'Appendice predetta e precedentemente nel lavoro diMarchionna Sul teorema di Riemann-Roch, ecc. (Nota III), Lincei, 1958, p. 673. Una delle vie indicate daMarchionna, onde pervenire alla relazione cui s'allude, presuppone tuttavia, in un secondo tempo, il teorema (diKodaira) di regolarità dell'aggiunto. Questosecondo modo di deduzione permette di ottenere più rapidamente il risultato, ed ha il vantaggio di conseguirlo più in generale, in relazione ad una generica ipersuperficieA non singolare, tracciata sopra unaV _d, priva di punti multipli; mentre qui (come nella Nota lincea preventiva) c'interessa di conseguire la relazione, di cui al successivo n. 2, con una dimostrazione del tutto autonoma. nel quadro della geometria algebrica classica, in quanto sopra la relazione cui si allude, noi vogliamo dipoi poggiare la deduzione di parecchie altre proprietà, stabilite daKodaira con mezzi di analisi, che si allontanano molto dal quadro predetto. Di ciò diremo più ampiamente nella presente Memoria e nelle Memorie che continueranno la presente.     

L'opera geometrica di Corrado Segre

Nato a Saluzzo ai 20 di agosto del 1863; laureato in matematica dalla Università di Torino il 1° luglio 1883. Durante l'anno 1883–84 fu in questo Ateneo assistente alla cattedra di algebra complementare e geometria analitica (prof.E. D'Ovidio) e nel seguente prestò il prescritto servizio militare; nel triennio 1885–88 occupò il posto di assistente alla cattedra di geometria proiettiva e descrittiva (prof.G. Bruno) facendo le lezioni della prima di tali materie. MortoF. Faà di Bruno, ilD'Ovidio passò dall'incarico della Geometria superiore a quello dell'Analisi superiore ed ilSegre fu nominato (15 novembre 1888) per concorso professore straordinario di quella disciplina; quattro anni appresso venne promosso ordinario. Durante tre trienni, cioè dal 1909 al 1918 fu preside della Facoltà di Scienze della Università di Torino; nel biennio 1895–97 ebbe anche l'incarico dell'insegnamento della fisica matematica e dal 1918 al 1922 quello delle conferenze di magistero in matematica. Un morbo repentino ed inesorabile lo spense addì 18 maggio 1924.     

Sopra alcune questioni di Geometria delle masse, Cinematica delle masse e Stereodinamica

Sunto Siano: S un generico sistema materiale a tre dimensioni, m la sua massa, G il suo baricentro; α un qualunque piano per G; s_α l'intersezione di α con l'ellissoide centrale d'inerzia; σ_α l'area di s_α;e_α l'ellisse corrispondente a s_α nell'omotetia di centro G e rapporto . Nella presente Nota, dopo la deduzione di qualche complemento alla teoria dei momenti d'inerzia, metto in evidenza il fatto che un conveniente uso della antipolarità rispetto alla e_α permette di coordinare efficacemente la trattazione (1) di svariati problemi di Cinematica delle masse e Stereodinamica. Tale fatto può anche giustificare la proposta di una speciale qualifica per la e_α, quella di ? ellisse centrale del piano baricentrale α ?.     

Spazio delle configurazioni e vincoli di anolonomia

Riassunto Si considera il moto di un sistema soggetto a vincoli di olonomia e di anolonomia. Dopo aver scontati i vincoli del primo tipo con l'introduzione del moto di un punto rappresentativo entro lo spazio delle configurazioni, si mostra l'utilità, per tener conto anche di quelli del secondo tipo, della introduzione di un'opportuna n-pla di congruenze ortogonali, alcune delle quali individuate dai vincoli di anolonomia; si mostra in particolare il significato che hanno, nello studio del moto di tali sistemi, i coefficienti di rotazione del Ricci. A Bruno Finzi nel suo 70 ^mo compleanno. Entrata in Redazione il 5 gennaio 1970.     

Proprietà topologiche della varietá degli elementi differenziali del secondo ordine dell'S r complesso

Sunto Si considera il modello V, di dimensione complessa 3r-2, della varietà degli elementi differenziali del secondo ordine di uno spazio proiettivo complesso S_r, costruito daG. Gherardelli, E. Bompiani, C. Longo. In questo lavoro tale modello viene considerato come varietà topologica a 2(3r-2) dimensioni reali e, mediante l'uso di un opportuno complesso cellulare, se ne determina il gruppo di omologia intera, assegnando altresì un semplice significato geometrico, nello spazio S_r, per i sistemi fondamentali di cicli delle varie dimensioni. Ne consegue, in particolare, che il gruppo di omologia di V è isomorfo a quello del prodotto di un S_r-1 per la varietà degli elementi di primo ordine di un S_r, in accordo con un risultato diF. Gherardelli ottenuto per altra via; ma si stabilisce d' altra parte che V non è, almeno in generale, omeomorfa a tale prodotto. Si prova, per inciso, che anche la varietá degli elementi di primo ordine di S_r, non è prodotto di un S_r-1 per un S_r, quantunque le due varietà abbiano anch'esse gruppi di omologia isomorfi. A Enrico Bompiani in occasione del suo Giubileo scientifico. Lavoro eseguito nell'ambito del gruppo di ricerca n. 37 del C. N. R. per l'anno accademico 1960–61.     

Sul contatto di superficie algebriche lungo curve

Sunto Si studiano alcune questioni generali relative al contatto d'ordine assegnato di due ipersuperficie algebriche F e G dello spazio S_r lungo una varietà & (r−2)-dimensionale, ottenendo fra l'altro una semplice condizione necessaria e sufficiente affinchè &, contata q volte, esaurisca l'intersezione di F e G. In secondo luogo si considera il caso di due superficie algebriche immerse in una V ₃ algebrica ed aventi un contatto semplice lungo una curva priva di punti multipli; ed in particolare, qualora V ₃ sia lo spazio ordinario, si prova che certe condizioni segnalate daB. Segre come condizioni necessarie affinchè una data superficie F possa essere tangente ad un'altra superficie lungo un' assegnata curva & (non singolare), sono anche sufficienti se l'ordine di F è inferiore a5. Infine si dà l'effettiva costruzione delle superficie circoscritte ad una superficie F d'ordine m=2, 3, 4, e si mostra come i metodi impiegati possano essere utilizzati anche quando si abbandoni l'ipotesi m<5.