Vibrationsrelaxation und Dissoziation zweiatomiger Moleküle mit Berücksichtigung von Mehrquantensprüngen und Gleichgewichtsrotation

Übersicht Es wird ein idealisiertes Stoßwellenexperiment betrachtet, bei dem eine Wärmebadmischung (X₂/Ar1) aus zweiatomigen Molekülen (X ₂H₂, O₂) und Argon plötzlich auf hohe Temperaturen gebracht wird. Durch numerische Lösung der sogenannten Mastergleichung wird der Zeitverlauf der Besetzungszahlen der Vibrationsenergieniveaus, der Dissoziationsrate und des Ratenkoeffizienten während des darauf folgenden Relaxationsprozesses bestimmt. Alle möglichen Übergänge zwischen den Energiezuständen der Vibration werden zugelassen, um den Einfluß von Mehrquantensprüngen im Gegensatz zu Einquantensprüngen aufzuzeigen. Außerdem wird eine Abschätzung durchgeführt, wie stark die Gleichgewichtsrotation der Moleküle die Dissoziation begünstigt.

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Summary An idealized shock wave experiment is considered in which a mixture of diatomic molecules (X ₂H₂, O₂) highly diluted in Ar (X ₂/Ar1) is heated instantaneously to high temperatures. The corresponding master equation is solved numerically to determine during the relaxation process the time dependence of the population in the vibrational levels, the dissociation rate, and the rate coefficient. All possible transitions are included to show the influence of multiple quantum transitions in contrast to single quantum transitions. In addition, an estimate is made of the influence of the equilibrium rotational energy on the reaction rate coefficient.

     

The stability of dissipative Couette flow between rotating cylinders in the presence of an axial magnetic field

Zusammenfassung Die Stabilität der magnetohydrodynamischen Strömung zwischen zwei koaxialen Kreiszylindern, die sich in einem axialen Magnetfeld befinden wird untersucht für beliebige Werte des Rotationsparametersm= ₂/ ₁, wobei ₂ die Winkelgeschwindigkeit des äusseren Zylinders und ₁ die Winkelgeschwindigkeit des inneren Zylinders bedeutet. Es wird angenommen, dass die Spaltbreite klein gegenüber den Krümmungsradien der Zylinder ist, dass es sich um eine schwach elektrisch-leitende Flüssigkeit handelt und dass die Zylinder nicht-leitend sind. Werte der kritischen Taylor- und Wirbelzahl für neutrale Störungen vom Taylor-Görtler-Typ werden als Funktion der Hartmann-Zahl für alle |m|1 numerische bestimmt.     

Asymmetrical slow viscous fluid motions caused by the translation or rotation of two spheres. Part II: Asymptotic forms of the solutions when the minimum clearance between the spheres approaches zero

Zusammenfassung In dieser Arbeit handelt es sich um eine Analyse der asymptotischen Formen für die Lösung von Problemen der langsamen zähen Strömung, die durch die Bewegung von zwei starren sphärischen Grenzen verursacht wird, wenn diese sich entweder entlang von Axen bewegen, die senkrecht zu der Verbindungslinie ihrer Zentren liegen, oder sich um diese drehen, Es wird der Grenzfall untersucht, bei dem der den Mindestspielraum zwischen den Sphären definierende Parameter sich Null nähert. Es wird gezeigt, dass für Kugeln, die ausserhalb einander liegen, die Kräfte und die Momente, die auf jede der beiden Kugeln einwirken, singulär werden, und zwar wie log für 0, für alle Werte der Radien. Wenn eine Kugel die andere einschliesst, findet man im allgemeinen dasselbe Verhalten, aber wenn eine stationäre Kugel eine drehende einschliesst, so verschwinden die Kräfte für »0, wenn der Radius der äusseren Kugel viermal so gross als der der inneren ist. Ein entsprechendes Verhalten zeigen auch die Momente, wenn sich die innere Kugel fortbewegt.     

On the nonlinear,spatially homogeneous Boltzmann equation with an external source: Exact generating functions for all moments

A moment method is applied to a model Boltzmann equation including an isotropic external source. The associated infinite system of first-order differential equations for the moments is solved exactly to the extent that analytical expressions for the generating function of the moments are derived. Due to a consequent application of Lie group methods the resulting functions are of the similarity form. Certain restrictions upon the shape of the source term arising from the solution strategy are discussed.

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Zusammenfassung Eine Momentenmethode wird angewandt auf eine Modell-Boltzmanngleichung mit einem isotropen Quellterm. Das zugehörige unendliche System von Differentialgleichungen 1. Ordnung für die Momente wird exakt gelöst in dem Sinne, daß analytische Ausdrücke für die Erzeugende Funktion der Momente angegeben werden. Aufgrund einer konsequenten Anwendung von Lie-Gruppenmethoden nehmen die Lösungen Similarity-Form an. Durch die Lösungsstrategie ergeben sich bestimmte Einschränkungen für die zulässigen Quellterme.

     

Time dependent neutron transport theory in multigroup-P L-approximation

Summary A method is developed for solving the time dependent neutron transport equation in multigroupP _L approximation for one-dimensional geometries. The partial differential equations in time and space are solved by means of a power series expansion in the spatial variable. The resulting ordinary differential equations are solved up to theNth order, and the last spatial coefficients are used to satisfy the boundary conditions. Integration of the purely time dependent differential equations is carried out by means of Lie series.Numerical oscillations, appearing for high ordersN, are avoided by subdividing each zone into smaller subzones. Even and odd spatial moments must be developed in opposite directions in each subzone, and the stationary solution representing the initial condition for the time dependent calculation must be developed in the same manner.Results of two calculations in spherical geometry are presented. One is the start-up of a small experimental reactor usingP ₃ theory, the other is a demonstration of neutron waves inP ₁ theory.

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Zusammenfassung Es wird eine Methode zur Lösung der zeitabhängigen Neutronentransportgleichung in der Multigruppen-P _L-Näherung für eindimensionale Geometrien entwickelt. Für die Lösung der partiellen Differentialgleichungen in Ort und Zeit wird eine Potenzreihe im Ort angesetzt. Das sich ergebende gewöhnliche Differentialgleichungssystem wird bis zu einer gewählten OrdnungN erfüllt, und die letzten Koeffizienten der Ortsentwicklungen dienen zur Befriedigung der Randbedingungen. Die Integration in der Zeit erfolgt dann mit der Lie-Reihen-Methode.Zur Vermeidung der Oszillationen, die bei hohen OrdnungenN auftreten, werden die einzelnen Zonen in kleinere Abschnitte unterteilt. Die geraden und ungeraden Momente müssen in den Abschnitten in entgegengesetzter Richtung entwickelt werden. Die stationäre Lösung, die als Anfangsbedingung für die zeitabhängige Rechnung dient, muss mit demselben Entwicklungsschema ermittelt werden.Die Methode wird angewendet zur Lösung derP ₁- undP ₃-Gleichungen in sphärischen Reaktoren. Zwei Beispiele werden damit berechnet: Das Anfahren eines kleinen Versuchsreaktors inP ₃-Näherung und die Nachweisung von Neutronenwellen inP ₁-Theorie.

     

The optimum strategy for choosing the maximum ofN independent random variables

Summary In this paper the problem of choosing the maximum of a given number of Random Variables (R.V.'s) has been considered when they are presented sequentially and their distribution is known. Only one R.V. can be accepted and in each case when a R. V. is presented it is either accepted, or rejected never to be accepted later. The strategy which maximizes the probability of obtaining the largest R. V. is obtained and called the optimum strategy. When this optimum strategy is followed, the probability of choosing any particular order statistic is determined and shown to be independent of the distribution of the R. V.'s. The asymptotic distribution of the order statistic chosen is found and selected probabilities listed in the Tables. Also included is a table of the optimum strategy and a graph of the number of R. V.'s to be sampled if one wishes the R. V. chosen to be in the top fraction of the population with a given probability.

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Zusammenfassung In dieser Arbeit wird das Problem der Wahl des Maximums einer gegebenen Anzahl von unabhängigen, identisch verteilten, Zufallsvariablen behandelt. Diese Zufallsvariablen sollen der Reihe nach vorgestellt werden. Ihre Verteilung ist bekannt. Jede Zufallsvariable kann entweder angenommen werden, oder sie ist für immer verloren. Hat man einmal eine bestimmte Zufallsvariable angenommen, so kann keine zweite mehr angenommen werden. Die Strategie, die die Wahrscheinlichkeit maximiert, daß man unter den gegebenen Zufallsvariablen die größte findet, wird entwickelt und optimale Strategie genannt. Es wird die Wahrscheinlichkeit dafür bestimmt, daß man bei Vorgehen nach dieser optimalen Strategie eine bestimmte Ranggröße erhält, und dabei gezeigt, daß sie unabhängig ist von der Verteilung der Zufallsvariablen. Es wird die asymptotische Verteilung der gewählten Ranggrößen bestimmt und die Wahrscheinlichkeit auszugsweise tabelliert. Beigefügt ist eine Tabelle für die optimale Strategie und eine graphische Darstellung der Anzahl der Zufallsvariablen, die man höchstens prüfen muß, wenn man wünscht, daß bei gegebener Wahrscheinlichkeit die gewählte Zufallsvariable über einer -Fraktile liegt.

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Mitteilung aus dem Zentral-Laboratorium für Nachrichtentechnik der Siemens A.G., München.

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Vorgel. v.:J. Heinhold     

Bounds for the Concentration of Asymptotically Normal Statistics

Let X₁,..., X _n be independent, not necessarily identically distributed random variables. An optimal bound is derived for the concentration function of an arbitrary real-valued statistic T = T (X ₁,...,X _n ) for which ET² < . Applications are given for Wilcoxon"s rank-sum statistic, U-statistics, Student"s statistic, the two-sample Student statistic and linear regression.     

An optimal Berry-Esseen type inequality for expectations of smooth functions

We provide an optimal Berry-Esseen type inequality for Zolotarev’s ideal ζ₃-metric measuring the difference between expectations of sufficiently smooth functions, like |·|³, of a sum of independent random variables X ₁,..., X _n with finite third-order moments and a sum of independent symmetric two-point random variables, isoscedastic to the X _i . In the homoscedastic case of equal variances, and in particular, in case of identically distributed X ₁,..., X _n the approximating law is a standardized symmetric binomial one. As a corollary, we improve an already optimal estimate of the accuracy of the normal approximation due to Tyurin (2009).     

The compressible gas-solid particle flow over a semi-infinite flat plate

Zusammenfassung Es wird gezeigt, dass die Grenzschicht-Approximation auf die Zwei-Phasen-Strömung über eine Halbebene anwendbar ist, wenn die Teilchendichte in der Grenzschicht von der Ordnung ist. Die Bedeutung eines neuen Parameters _m /x wird herausgestellt, wo _m die Länge ist, auf der die Teilchen ihre Geschwindigkeit ume ^–1 verringern, und der Abstand von der Vorderkante. Reihenentwicklungen in diesem Parameter werden benutzt, derart, dass eine Ähnlichkeitsgrösse für die Halbebene gefunden werden kann. Dies reduziert ein System partieller Differentialgleichungen auf ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen. Letztere werden numerisch und wenn möglich analytisch gelöst, so dass Schubspannungskoeffizienten und Wärmeübergangskoeffizienten für begrenzte Teile der Wand berechnet werden können. Hierbei wird die Gasdichte nicht als konstant angenommen.     

Applications of Rellich's perturbation theory to a classical boundary and eigenvalue problem

Zusammenfassung Mit Hilfe der Rellichschen Störungstheorie wird die analytische Abhängigkeit der Lösungen eines Randwert- und eines Eigenwertproblems gezeigt, sowie des tiefsten Eigenwertes ₁() von einem Parameter , der in den Randbedingungen auftritt.Als Anwendung ergeben sich Schranken für das Energieintegral und ₁(). Ferner wird die Definition der RobinfunktionR(P, Q; ) erweitert auf negative Werte von , insbesondere singuläre Werte –p _j .

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Neu-Technikum Buchs     

On a modification of the QD-algorithm with graeffe-type convergence

Zusammenfassung Es wird gezeigt, wie man den Quotienten-Differenzen-Algorithmus 4) in einer dem Graeffe-Verfahren analogen Weise modifizieren kann. Es werden dann zu einer als endlicher Kettenbruch gegebenen rationalen Funktionf(z), deren Pole man zu bestimmen wünscht, Funktionenf _p (z) konstruiert, deren Pole die 2^pten Potenzen der Pole vonf(z) sind. Auf diese Weise erhält man die Absolutbeträge der Pole vonf(z) alle gleichzeitig mit quadratischer Konvergenz, überdies aber auch die Partialbruchzerlegung (13) (sofern eine solche existiert) der Funktion (1). Es wird ferner gezeigt, wie man das für das Graeffe-Verfahren charakteristische Auftreten von sehr grossen und sehr kleinen Zahlen vermeiden kann.     

Über Hyperflächen aus Quadriken und quadratischen Kegeln im reellenm-dimensionalen projektiven Raum

Zusammenfassung Die vorgestellte Kennzeichnung für eine reguläreC ²(U)-Hyperflächef(U) mit zusammenhängender offener ParametermengeU ^m–1 aus einer Quadrik im reellenm-dimensionalen projektiven Raum ^m ,m 3 über dem (m+l)-dimensionalen reellen Vektorraum ^m+1 stützt sich auf die ebenen Schnitte vonf(U) durch eine im Punktf(a) der Hyperfläche nichttangentiale Geradeg. Als Anwendung ergeben sich einerseits eine Charakterisierung von Hyperflächen aus einer Quadrik unter Benützung gewisser scheinbarer Umrisse und andererseits eine Verallgemeinerung eines Ergebnisses über die zentralaffine Metrik nach D. Laugwitz. Weiters werden Hyperflächen aus quadratischen Kegeln in ^m mit Hilfe ihrer Schnitte mit Unterräumen geeigneter fester Dimension durch eine Gerade gekennzeichnet.Wir verwenden wie in [6] einen Flächenbegriff unter Berücksichtigung der Quotientenstruktur von ^m im Sinne differenzierbarer Mannigfaltigkeiten. Unter Benützung von Aussagen aus [6] wird für reguläre Hyperflächen in ^m die Existenz entweder einer oskulierenden Quadrik oder eines oskulierenden quadratischen Kegels oder einer oskulierenden Hyperebene in jedem Flächenpunkt nachgewiesen.     

Faxén relations of arbitrary order and their application

Summary For a particle in Stokes flow the relation between the expansion tensors appearing in the perturbation velocity to gradients of the undisturbed (though arbitrary) velocity are called Faxén relations. The expansion tensors themselves turn out to be defined in terms of moments of the stress and velocity distribution, evaluated for any surface completely enclosing the particles. Since these moments vanish if the stress and velocity fields are regular inside the particle the Faxén relations can be used advantageously, if the classical method of reflections for the hydrodynamic interaction between two particles applies, i.e. if the particles are sufficiently far apart. Assuming this to be so for two interacting spheres, a general recursion formula for the expansion tensors of the (j+1)st reflection in terms of expansion tensors of thejth reflection is derived via the Faxén relations. In this way the interaction problem is reduced to a bookkeeping one. This is demonstrated by calculating the friction tensors to the fourth power of the inverse interparticle distance. Furthermore by evaluating the stresslet for a suspension of pair-interacting spheres we obtain an estimate of the suspension viscosity up to quadratic terms in the volume fraction.

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Zusammenfassung Für ein Teilchen in schleichender Strömung werden die Beziehungen zwischen den Entwicklungstensoren der Störgeschwindigkeit zu den Gradienten des ungestörten (aber beliebigen) Geschwindigkeitsfeldes Faxén Relationen genannt. Die Entwicklungstensoren selbst ergeben sich als Momente der Spannungs- und Geschwindigkeitsverteilung, berechnet über irgendeine beliebige Oberfläche, die das Teilchen umschließt. Da diese Momente für jedes Geschwindigkeits- und Spannungsfeld verschwinden, das im Innern des Teilchens regulär ist, können die Faxén Relationen vorteilhaft angewendet werden, wann immer die Reflexions-methode für 2 Teilchen gültig ist, d.h. die Teilchen müssen genügend weit voneinander entfernt sein. Mit Hilfe der Faxén Relationen wird für wechselwirkende Kugeln im letztgenannten Fall eine Rekursionsformel für die Entwicklungstensoren der (j+1)ten Reflexion abgeleitet, die nur von den Entwicklungstensoren derjten Reflexion abhängt. Dadurch braucht man bei dem hydrodynamischen Wechselwirkungsproblem nur noch genau Buch zu führen. Dies wird dadurch demonstriert, daß die Reibungstensoren bis zur vierten Potenz des inversen Kugelabstandes berechnet werden. Indem wir auch das Stresslet in einer Suspension paarweise wechselwirkender Kugeln berechnen, erhalten wir eine Abschätzung der Suspensionsviskosität einschließlich Gliedern quadratisch in der Konzentration.

     

Effects of high electrical conductivity in two-dimensional plasma flows

Zusammenfassung Der Einfluss endlicher elektrischer Leitfähigkeit auf die Kopplung zwischen Magnet-feld und Geschwindigkeitsvektor in einer ebenen, sonst dissipationsfreien Plasmaströmung wird theoretisch untersucht. Die Strömungsgleichungen werden mittels Reihenentwicklung nach negativen Potenzen der (hohen) magnetischen Reynoldszahl linearisiert. Als Lösung nullter Ordnung wird eine stationäre, zweidimensionale, dissipationsfreie Strömung durcy einen parallelen Kanal verwendet, die zur Klasse der «aligned-flow» problems,vB ₀, gehört. Das linearisierte Gleichungssystem lässt sich mit Hilfe geeigneter Transformationen durch eine TRICOMISCHE Differentialgleichung samt Rand-und Anfangsbedingungen für nur eine Strömungsvariable des gestörten Problems ersetzen, die der Diffusion des Magnet-felds aufgrund der endlichen Leitfähigkeit durch einen inhomogenen Term Rechnung trägt. Zur Lösung dieser Gleichung wird ein Integraltransformationsverfahren angegeben, das für eine grosse Klasse von über den Kanal variablen Magnetfeldern nullter Ordnung anwendbar ist. Ein solcher Fall wird explizit behandelt und es wird gezeigt, dass durch die Lösung alle anderen Strömungsvariablen 1. Ordnung eindeutig bestimmt sind. Für den Fall konstanten Magnetfeldes in nullter Ordnung lässt sich der Kontakt mit bestehender einschlägiger Literatur herstellen.     

The effect of viscosity on the waves due to a moving oscillatory surface pressure

Summary It is known that when a pressure distributionp ₀(x) exp (i t moves with a constant velocityu ₀ parallel to on the surface (y=0) of an inviscid liquid, (i) the steady-state wave amplitude does not die out at large distances from the source for (u ₀/g1/4, and(ii) the solution becomes singular for u ₀/g=1/4.Here is shown that the consideration of even a slight viscosity of the liquid leads to a wave decay with distance for all (u ₀/g), the solution remaining non-singular for (u ₀/g=1/4. Furthermore, for a finitely distributedp ₀(x), the wave amplitude is always non-zero, unlike in the case of an inviscid fluid, where no energy is transmitted for an infinite number of values of a parameter involving ,u ₀ and the length of the pressure strip.

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Zusammenfassung Es ist bekannt, daß, wenn eine periodische Druckverteilungp ₀(x) exp (i t) sich mit einer konstanten Geschwindigkeitu ₀ inx-Richtung über die Oberflächey=0 einer reibungslosen Flüssigkeit bewegt, daß dann (1) die Amplitude des stationären Zustandes in großen Entfernungen von der Quelle nicht abklingt für (u ₀/g)1/4, und (2) die Lösung wird singulär für (u ₀/g)=1/4.Hier wird gezeigt, daß die Berücksichtigung einer geringen Zähigkeit in der Flüssigkeit zu einem Abklingen der Wellen führt für alle (u ₀/g)=1/4. Zudem ist für eine Verteilung vonp ₀(x) über eine endliche Länge die Wellenamplitude immer endlich, im Gegensatz zum reibungsfreien Fall, in dem keine Energie übertragen wird für gewisse Werte eines Parameters, der ,u ₀ und die Länge des Druckstreifens enthält.

     

Asymmetrical slow viscous fluid motions caused by the translation or rotation of two spheres. Part I: The determination of exact solutions for any values of the ratio of radii and separation parameters

Zusammenfassung Für die Probleme der langsamen zähen Flüssigkeitsbewegung, die durch die Bewegung von zwei sphärischen Begrenzungen verursacht warden, sind exakte Lösungen angegeben worden. Die Bewegung der Kugeln kann entweder eine Translation entlang oder eine Rotation um die Achse sein, welche senkrecht zur Verbindungslinie der Mittelpunkte geht. Die Kugeln können sich ausserhalb von einander in einer unbegrenzten Flüssigkeit befinden, oder die Flüssigkeit kann zwischen zwei exzentrischen Kugeln eingeschlossen sein. Die Theorie ist anwendbar für alle Werte der Radienverhältnisse (k) und der minimalen Distanz () zwischen den Kugeln.     

The Embedding Theorem for Cantor Varieties

Let m and n be fixed integers, with 1 m < n. A Cantor variety C _m,n is a variety of algebras with m n-ary and n m-ary basic operations which is defined in a signature ={g₁,...,g_m,f₁,...,f_n} by the identities f_ig₁x₁,...,x_n),...,g_mx₁,...,x_n) = x_i, _i=1,...,n, g_jf₁x₁,...,x_m),...,f_nx₁,...,x_m)) = x_j, _j=1,...,m. We prove the following: (a) every partial C _m,n-algebra A is isomorphically embeddable in the algebra G= A; S(A) of C _m,n; (b) for every finitely presented algebra G= A; S in C _m,n, the word problem is decidable; (c) for finitely presented algebras in _{C m}, the occurrence problem is decidable; (d) _{C m,n} has a hereditarily undecidable elementary theory.     

Transient magnetohydrodynamic flow and heat transfer

Zusammenfassung Es wird die zeitabhängige Strömung einer elektrisch leitenden Flüssigkeit untersucht, die sich bei Gegenwart eines Quermagnetfeldes einstellt, und zwar wird die freie und die erzwungene Konvektion berechnet. Wenn die Wandtemperatur längs der Kanalachse linear variiert, werden die Grundgleichungen linear, was eine analytische Lösung ermöglicht. Unsteitigkeiten können entstehen durch Variationen des axialen Druckgradienten, der Wandtemperatur oder der inneren Energieerzeugung. Die Einflüsse der thermischen und magnetischen Prandtlzahl, der Hartmannzahl, der Rayleighzahl und der inneren Energieerzeugung auf die Strömung und den Wärmeübergang werden untersucht. Für grosse Werte vonRa undM und fürPr-Werte von der Grössenordnung 1 wird ein Schwingungsverhalten gefunden, dessen Periode stark von den genannten Parametern abhängt.

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Work performed under the auspices of the U.S. Atomic Energy Commission.     

On the wall effect correction of the Stokes drag formula for axially symmetric bodies moving inside a cylindrical tube

Zusammenfassung In dieser Arbeit wird der Einfluss der Wand auf die Bewegung eines rotationssymmetrischen Körpers längs der Achse eines mit zäher Flüssigkeit gefüllten Rohres betrachtet. Der Widerstand des Körpers wird unter der Voraussetzung berechnet, dass die Dimensionen des Körpers gegenüber dem Radius des Rohres klein sind. Wir finden für den WiderstandD eines Körpers, der sich mit der GeschwindigkeitU längs der Achse einer zylindrischen Röhre mit dem inneren RadiusR bewegt, woD _o der Widerstand des Körpers in einer sonst den ganzen Raum füllenden Flüssigkeit, eine Konstante etwa gleich 2.203, und die Viskositätskonstante ist.

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Research done under U.S.Air Force Office of Scientific Research Contract Nr. AF 49 (638)-521.     

Inequalities for sums of independent geometrical random variables

Summary We give a survey of known results regarding Schur-convexity of probability distribution functions. Then we prove that the functionF(p ₁,...,p_n;t)=P(X₁+...+X_n≤t) is Schur-concave with respect to (p ₁,...,p_n) for every realt, whereX _i are independent geometric random variables with parametersp _i. A generalization to negative binomial random variables is also presented.