二次函数解析式的求法

“二次函数”是初中代数的重要内容之一 ,求二次函数解析式又是“二次函数”这一章的基础知识 ,学好它对掌握好全章的知识起着十分重要的作用 .本文将二次函数解析式的求法归纳为五种类型 ,供同学们参考 .二、三点型若已知抛物线上三点的坐标 ,或可求出抛物线三点的坐标时 ,可用一般式y=ax2 bx c求之 .例 1　已知一个二次函数的图象经过点 ( -1 ,0 ) ,( 1 ,4) ,( 2 ,7)三点 .求这个函数的解析式 .解 :设所求二次函数为y=ax2 bx c.由已知 ,函数图象过 ( -1 ,1 0 ) ,( 1 ,4) ,( 2 ,7)三点 ,得　a -b c=1 0 ,a b c=4,4a 2b c=7.解这个方程组 ,得a =2 ,b =-3 ,c=5 .因此 ,所求二次函数是y=2x2 -3x 5 .二、顶点型当已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时 ,通常用顶点式y =a(x -h) 2 k求之 .若已知条件涉及到对称轴、最值、抛物线与x轴截得的弦长等条件时 ,也可用顶点式求得解析式 .例 2　已知二次函数的图象过点 ( 6,8) ,顶点为 ( 3 ,3 ,) ,求这个二次函...     

看透问题的本质,提升问题解决的境界——圆锥曲线的极线的一个性质及应用

近年来,关于圆锥曲线的切线及相关问题的研究与考查受到了青睐,请看2012年高考福建卷文科试题21题:等边三角形OAB的边长为8槡3,且其三个顶点均在抛物线E:x2=2py(p>0)上.(1)求抛物线E的方程;(答案:x2=4y)     

为何少了一条切线

20 0 4年全国高考试题 (重庆卷 )文科第1 5题是 :已知曲线 y =13x3 43,则过点P( 2 ,4 )的切线方程是 .(试卷所附答案为 :y - 4x 4=0 )该题改造于高中数学新教材 (试验修订本 )第三册 (选修Ⅰ ) ( 2 0 0 1年 1 2月版 )第 6 4页例 2是 :若曲线 y =13x3 上一点P( 2 ,83) ,求 1     

二次函数极值公式的一个应用

二次函数y=ax~2+bx+c(a≠0),经过配方整理后得: y=a(x+b/2a)~2+(4ac-b~2)/4a 这个公式叫二次函数的极值公式。把这个公式稍加变形得: y=a〔(x+(b/2a))~2+(4ac~2-b~2)/4a~2〕=a〔(x+(b/2a))~2-(b~2-4ac)/4a~2〕。这个变形后的公式,不仅可以求二次函数的极大值或极小值,而且还可以用来求抛物线y=ax~2+bx+c(a≠0)在x轴上所截得的线段的长度。定理:设抛物线y=ax~2+bx+c(a≠0)与x轴交于两点A(x_1,0)、B(x_2,0),(x_1≠x_2)则抛物线在x轴上所截得的线段长为:     

两道湖北省预赛题的另解

题1(2011年湖北省预赛第9题)已知二次函数y=f(x)=x2+bx+c的图象过点(1,13),且函数y=f(x-1/2)是偶函数.(1)求f(x)的解析式;     

用待定系数法求二次函数的解析式

二次函数的图象和性质这一节是初中生感到困难的内容之一,而用待定系数法求其解析式又更复杂一些,通常对一般二次函数有以下三种不同的表达形式: 一般式y=ax~2+bx+c(a≠0) 顶点式y=a(x+k)~2+k (a≠0) 交点式y=a(x-x_1)(x-x_2) (a≠0) 其中抛物线的顶点为(-k,h)x_1,x_2为抛物线与x轴的两个交点的横坐标,每一种形式     

一道中考模拟试题的解法探究

题目(十堰市2011年中考模拟试题)已知抛物线与x轴的两交点之间的距离为2,且经过P(0,-16),顶点在直线y=2上,求它的解析式.分析求抛物线的解析式一般根据题中已知条件的顶点坐标、与x轴的交点坐标,经过点的坐标,将抛物线的解析式设为顶点式:y=a(x-h)2+k、交点式:y=a(x-x1)(x-x2)、或一般式:y=ax2+bx+c.但本题已知条件的顶点     

中考压轴题中的抛物线平移问题

近年来以抛物线的平移为压轴题的题虽不常见,但武汉市连续两年都有这种题.例1(2012年武汉)如图1,点A为抛物线C1:y=1/2x2-2的顶点,点B的坐标为(1,0),直线AB交抛物线C1于另一点C.(1)求点C的坐标;(2)如图1,平行于y轴的直线x=3交直线AB于点D,交抛物线C1于点E,平行于y     

求二次函数解析式“三注意”

<正>二次函数解析式是函数一章的重点内容,求二次函数的解析式不仅用到二次函数的有关知识,而且还用到一些数学方法例如配方法、待定系数法,必须认真学好,并注意以下三个问题:一、注意掌握解析式的三种基本形式1.一般式:y=ax2+bx+c(a≠0),即二次函数的定义式.2.顶点式:y=a(x+m)2+n(a≠0),其中(-m,n)是抛物线的顶点,x=-m是对称轴.这种形式是由一般式经过配方得来,所以这种形式也叫配方式.3.双根式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1、x2是抛物线与x轴交点的横坐标或方程     

二次函数的极值

极值指极大值或极小值 ,也称为最大值或最小值 .二次函数一般式y=ax2 +bx +c(a≠ 0 )的极值有极大值或极小值 .当a >0时 ,二次函数的图象开口向上 (如图① ) ,图象上有最低点C ,即为抛物线的顶点 ,顶点坐标 ( -b2a,4ac-b24a ) ,函数y有极小值 ,即y =4ac-b24a ;当a <0时 ,二次函数的图象开口向下 (如图② ) ,图象上有最高点F ,即为抛物线的顶点 ,顶点坐标为 ( -b2a,4ac-b24a ) ,函数y有最大值 ,即y =4ac-b24a .二次函数的极值与a ,b ,c的值有关 .极值的大小就是抛物线顶点的纵坐标的值 .若给出二次函数的顶点式 :y=a(x-h) 2 +k,抛物线的顶点…     

动态二次图数y=ax2+bx+c顶点运动规律

在研究二次函数y=ax2+bx+c图象时,我们往往强调二次项系数a确定抛物线的开口大小和方向,-b/2a的值确定抛物线的对称轴x=-b/2a的位置,常数项c确定抛物线与y轴的交点(0,c)的位置,而抛物线的顶点(-b/2a,4ac-b2/4a)位置由a,b,c共同确定.     

如何平移二次函数的图像

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像平移的实质是图像形状大小、开口方向不变,位置发生变化.即系数a不变,顶点移动,所以在平移二次函数图像时一般把二次函数一般式y=ax2+bx+c化成顶点式y=a(x+m)2+k的形式,并抓住常数a、m、k与平移的关系.1.系数a与抛物线的平移无关,在平移过     

多种方法确定二次函数表达式

我们知道,根据已知条件确定二次函数表达式有三种表达式可供选择:(1)一般表达式:y=ax2+bx+c(a、b、c为常数且a≠0);(2)顶点表达式:y=a(x-h)2+k,其中顶点为(h,k),a≠0;(3)交点表达式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0,x1、x2是抛物线与x轴两交点横坐标).     

高等数学模拟试题

一、解答题(本大题满分14分,共有2小题,每小题7分)解题时要写出必要的步骤.1.(7分)设u=arcctg(y/x)-cos(xy~2),求u_x,u_y答案:u°x=y/(x~2 y~2) y~2sin(xy~2);u°y=(-x)/(x~2 y~2) 2xy sin(xy~2)2.(7分)设z=e~(3x 2y),而x=cost,y=t~2,求(dz/dt)答案:e~(3x 2y)(4t-3sint)二、解答题(本大题满分24分,其有3小题,每小题8分)解题时要写出必要的步骤.     

含参数二次函数题举例

<正>含参数二次函数题是一个重要题型,形式新颖、解法灵活、技巧性强,同学们解这类题常感困难,甚至不知从何入手,为帮助同学们解决这个问题,现举几例说明.例1已知抛物线y=x²-(k-1)x-3k-2交x轴于A(α,0),B(β,0)两点,且α2-(k-1)x-3k-2交x轴于A(α,0),B(β,0)两点,且α²+2β=17,求x的值.解∵抛物线y=x2+2β=17,求x的值.解∵抛物线y=x²-(k-1)-3k-2与x轴相交于A(α,0)、B(β,0),     

用平移规律解题

<正>由二次函数的性质可知,抛物线y=a(x-h)²+k(a≠0)的图像,是由抛物线y=ax2+k(a≠0)的图像,是由抛物线y=ax²(a≠0)的图像平移得到的.在平移时,a不变(图像的形状、大小不变),只是顶点坐标中的h或k发生变化(图像的位置发生变化).这个平移规律是"左加右减,上加下减".左、右沿x     

二次函数中最值问题的求解

<正>与最大值和最小值有关的问题,或极大和极小的问题一直是中考的热点问题,下面就北京近几年的中考和模拟考试中以二次函数图像为背景的几个试题作一阐释.例1如图1,已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点,AB=2,与y轴交于点C,对称轴为直线x=2.(1)求抛物线的表达式.(2)设P为对称轴上一动点,求△APC周长的最小值.     

浅析“动抛物线”问题的转化

<正>1问题提出(2018·北京)在平面直角坐标系x Oy中,直线y=4x+4与x轴、y轴分别交于点A,B,抛物线y=ax²+bx-3a经过点A,将点B向右平移5个单位长度,得到点C.(1)求点C的坐标;(2)求抛物线的对称轴;(3)若抛物线与线段BC恰有一个公共点,结合函数图象,求a的取值范围.     

浅谈如何求二次函数的解析式

求二次函数的解析式是函数这一章的重点和难点之一 .求函数解析式一般步骤为 :( 1 )设出所求函数的一般解析表达式 .( 2 )把解析式中的系数当做未知数 ,列出方程或方程组 .( 3 )求出方程或方程组的解 ,然后代入函数解析式中便得到所求的解析式 .其中如何能根据函数的一些有关性质或它满足的一些条件 ,设函数的解析式是求二次函数解析式的关键 .二次函数的解析式一般有三种形式 :一般式 :y =ax2 +bx+c(a≠ 0 ,a ,b ,c为常数 )顶点式 :y =a(x-h) 2 +k(a≠ 0 ,a ,h ,k为常数 )两点式 :y =a(x -x1) (x -x2 ) (a≠ 0 ,a ,x1,x2 为常数 )合理设二…     

一道高考题的拓广

2007年全国高考福建省理科卷第20题:如图1,已知点F(1,0),直线l:x=-1,P为平面上的动点,过P作直线l的垂线,垂足为点Q,且QP·QF=FP·FQ.(Ⅰ)求动点P的轨迹C的方程;(Ⅱ)过点F的直线交轨迹C于A,B两点,交直线l于点M,已知MA=1λAF,MB=2λBF,求1λ 2λ的值.图1本题(Ⅰ)中,由条件可求得动点P的轨迹C的方程是y2=4x,显然F(1,0)是抛物线y2=4x的焦点,直线l:x=-1是抛物线y2=4x的准线.在(Ⅱ)中,由条件可求得1λ 2λ=0.(Ⅱ)中的这个结论对一般的圆锥曲线是否成立呢?延伸一下可得圆锥曲线的一个有趣性质:性质1过点F(m,0)(m>0)的直线交抛物线y2=2…