相似三角形解题中的常见错误分析

在《相似三角形》这一章中 ,同学们往往对概念不清或考虑不周而出现解题错误 .两个三角形一旦用“∽”表示出来 ,就明确了边、角的对应关系 ;而只说两个三角形相似 ,并没有用符号表示出来 ,就可能存在边角对应的不唯一性 .下面就学习中常见的解题错误举例剖析如下 .例 1　要做两个形状相同的三角形框架 ,其中一个三角形框架的三边分别为 4,5 ,6.另一个三角形框架的一边为 2 ,怎样选料可使这两个三角形相似 ?【错解】设另一个三角形框架的三边分别为 2 ,x ,y ;由题意得2∶4=x∶5 =y∶6.得x=52 ,y =3 .【剖析】题目中只要求两个三角形相似 ,而…     

相似三角形识别方法的选择和应用

相似三角形的识别方法有好几种 ,如何应用 ,那要看题设或图中欲证的两三角形已具备了什么条件 ,尚缺什么条件 ,是否能补全 证题过程 ,一般思路如下 :①考虑是否有两角对应相等 ②当只寻得一角对应相等时 ,则考虑夹这角的两边是否对应成比例 ③若无一角对应相等时 ,则考虑三边是否对应成比例 例 1　在一次数学活动课中 ,小明画了个∠A′BC′,在BC′边上取点C ,作BC的垂直平分线交A′B于点E ,交BC于点D 再作出DC的垂直平分线交A′B于点A(如图 1 ) ,他给的工具是无刻度的直尺与笔 ,要求在△ABC内画出一个三角形与△ABC相似 ,并且…     

利用面积法求有关线段的长

面积法就是通过面积的相互转化或面积与边、角关系的互相转化,而使问题得到解决的方法.对三角形而言,就是指利用三角形的面积自身相等的性质,或根据等高(底)的两个三角形的面积之比等于对应底边(对应高)的比的性质等进行解题的一种方法.利用面积法解题具有便捷、快速的特点,它是中学数学中一种常见的解题方法.现举例如下.一、利用三角形的面积自身相等的性质求线段的长问题1:已知等腰△ABC中,AB=AC=10,底边BC上     

“任意等分线段”的新方法

数学课上,赵老师给我们布置了这样一道题:如图1,已知在平行四边形ABCD中,E、F分别是AB、AD边上的点,AD=mAF,AB=nAE,FE与AC交于点G,试探索AG与AC的关系.题目中有平行线,但没有相似三角形.为了利用相似三角形的性质,我想到了延长FE交CB延长线于点H.     

对一道国际数学竞赛题的探究

原命题锐角三角形ABC的顶角A的内角平分线交BC于L,交三角形外接圆于N,过L分别作AB和AC边的垂线LK和LM,垂足为K、M.求证:四边形AKNM的面积等于△ABC的面积.(见图1) 这是一道第28IMQ试题.对这道题作进一步的剖析与探究,当AN是△ABC的外角平分线时,命题的结论仍然成立。命题锐角三角形ABC的顶角A的外角平分线交BC边的延长线于L,交三角形外接圆于N.过L分别作AB和AC边的垂线LK和LM,交BA、AC的延长线于K、M.求正:四边形AKNM的面积等于三角     

证明相似三角形的若干途径

一般相似三角形的判定方法有 :1.定义判定法 .此方法因证明过程中所需的条件太严格 ,即三个角相等 ,三边对应成比例 ,故一般不用它来判定 .又由于三角形具有稳定性 ,所以在实际解题中常使用削弱条件的几个判定定理 :2 .两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似 ;3.两角对应相等的两三角形相似 ;4 .三边对应成比例的两三角形相似 ;5.平行于三角形的一边的直线截其他两边 ,截得的三角形与原三角形相似 ;对特殊的三角形———直角三角形 ,除满足以上五种判定方法外 ,还有其自身的判定方法 ,即 :6 .斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形…     

一道几何题的多思路解法探究

<正>一、问题提出题目在正方形ABCD中,点E在BC上,点F在AB上,且AF=BE,DF交AE于H.(1)求证:AE⊥DF;(2)如图1,点M在HD上,满足HM=HA,点O为MC的中点,求∠HDO的度数;此题第一问实际上是人教版八下数学课本P68页第8题的改编题,解法比较简单.由条件易得三角形全等,由全等得角相等,再根据等量代换得90°角,最后得线段垂直关系.解题方法常规,思路     

一道课外练习题的多角度思考

<正>题目(中学生数学2018年12月(下)47页)已知,正方形ABCD的边长为1,E为BC边的延长线上一点,CE=1,连结AE,与CD交于点F,连结BF,并延长交DE于点G,求线段BG的长.这里从比例的性质、三角形相似、三角函数、勾股定理、梅涅劳斯定理、构造图形等方面思考解决问题,不仅便于学生思考,也培养学     

这样作圆更简单

《中学生数学》2010年第9期(月下)智慧窗第5题巧作圆,妙求值为:如图1,在△ABC中,AB=AC,BA⊥AP,AP交BC边于点P,求(BP·BC)/AB2的值.参考答案中的作法是:如图1,作△ABC的外接圆,然后应用圆的有关知识及相似三角形,使问题获解.这种方法不仅解题过程较复杂,而且不容易想到!下面给出另一种更为简洁且容易想到的方法:     

一道几何题的两种求解法

<正>题如图1,在矩形ABCD中,AD=3^(1/2),AB=7,点E在边AB上,∠DEC=120°.求AE的长.解法一(构造外接圆法)作△DEC的外接圆⊙O,过点O作OG⊥AB于点G,交DC于点F.连结OC,OD,OE(如图2所示).     

巧构造,妙解题

<正>前几天的考练中,有这样一道几何题:在等腰Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,在三角形内有一点D,使得AB=DB,AD=CD,求∠ABD的度数.起初,因为老师讲过类似的题目,只是条件改变了,所以我首先想到了用"垂线法"解决这个问题,具体如下:过点D作DM⊥AB于点M,DN⊥AC于点N.容易证明四边形AMDN是矩形,因此AN=DM.∵AD=CD,DN⊥AC,∴DN为线段AC的中垂线,则AN=     

牵“相似形”之手,进“分类讨论”之园

<正>分类讨论是我们常用的一种数学思想方法.在数学题目中,有许多问题需要分不同情况加以考察,这就是分类讨论思想.其一般步骤是:(1)确定同一标准,(2)对全体对象进行分类,做到"不重,不漏",(3)分类讨论,得出结论.下面就相似形中的几个问题加以说明.一、由于对应边不确定,需要分类讨论例1要做两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形框架的三边长为4、5、6,另一个三角形框架的一边长为2,问其余两边长是多少时,可使这两个三角形相似?思路点拨要使两个三角形相似,已知一个三角形的三边和另一个三角形的一边,则我     

证明线段相等的几种方法赏析

<正>初中阶段证明线段相等的方法非常多,下面我们以一道题为例来说明常见的几种证明线段相等的方法.题目如图1,在△ABC中,AB=AC,D为AB上一点,F是AC延长线上一点,且BD=CF,连接DF交BC于点E,求证:DE=EF.证明一、利用全等三角形证明方法一如图2,作DM∥AC,交BC于M.     

比例线段与面积

在学习相似三角形的过程中,经常会碰到这样一类的习题: 已知:如图1所示,四边形ABCD是平行四边形,DM=CM,DN=AN,试求BP:BM。这类习题通过添加平行线,利用相似三角形中的有关性质即可使问题迎刃而解。今过M点作BC的平行线交CN于E,由△BCP∽△MEP,可得 BP:PM=BC:ME又由已知可得EM=1/2AD=1/4BC, ∴ BP:PM=4:1从而得出BP:BM= 4:5 利用这类习题的解法和结论,可以解决不少有关     

三角形中的一个共点性质

本文给出三角形中的一个共点性质,并兼证三角形重心的一个向量性质与三角形内心的一个向量性质． 性质 点M是△ABC内一点,直线BM交边AC于点E,直线CM交边AB于点F,过点M的直线分别交AB、AC于点P、Q,AF^→=mAB,AE^→=nAC^→,AP^→=xAB^→,AQ^→=yAC^→,则1-m/my＋1-n/nx=1-mn/mn.     

2004年高中数学联赛平面几何题(加试)另解

题目在锐角三角形ABC中,AB上的高CE与AC上的高BD相交于点H,以DE为直径的圆分别交AB、AC于F、G两点,FG与AH相交于点K,已知BC=25,BD=20,BE=7,求AK的长.     

初中数学竞赛试题选讲(续完)

三、正弦定理和余弦定理的应用关于三角形边与角的等量及不等量的关系,三角形的形状以及几何量的计算等方面题,常用正弦定理、余弦定理及面积公式S=(1/2)absinC求解。例10 在△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,且c为最大边如果accosA bccosB<4S,其中S为△ABC的面积,求证△ABC是锐角三角形, 因c是最大边,故∠C是最大角,所以只要能证明∠C是锐角,命题即得证,而为此又只要证明cosC>0即可。这就使我们想到从余弦定理入手解题。由余弦定理及三角形面积公式,题设不等     

竞赛中的解三角形问题

解三角形问题,主要是处理三角形中的边、角关系.即通过已知的边角关系,确定三角形中未知量和未知关系.数学竞赛中的解三角形问题,常涉及以下知识点.设△ABC的三个角为A,B,C,它们对应的边分别为a,b,c,△ABC的外接圆的半径为R,△ABC的面积为S.1)正弦定理:sinaA=sinbB=sinCC=2R;2)     

浅谈共边共角三角形解题模型

<正>本文介绍一种相似三角形中常见的解题模型——"共边共角"三角形.新人教版教材数学九下第35页例2:如图1,Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=8,E是AC上一点,AE=5,ED⊥AB,垂足为D;求AD的长.分析由∠A=∠A,∠C=∠EDA容易证得△AED∽△ABC,再根据相似三角形对     

图形翻折问题的解题策略探究

<正>图形的翻折问题是图形运动的重要内容之一,是中考考查的一个难点,也是学习过程中的一个难点.如何更好地解决这一类问题?首先需要我们掌握翻折的性质,从而寻找解决问题的突破口,掌握正确解题的方法和思路.本文将通过例题的讲解和变式练习的巩固让同学们能够更快的熟练这类题的解题方法.1例题解析例题如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,AB=10,点D在边BC上,将△ACD沿AD翻折,点C恰好落在斜边AB上,求CD的长.