Waves and stability

The connection between stability of equilibrium and propagation of small disturbances through a general elastic medium has been stated, since 1903, by J. Hadamard. However a doubtful element in the original proof of the theorem was pointed out by P. Duhem. A more elaborated proof, which seems to be satisfactory even in a more general hypothesis, has been later proposed by the author of this report. That proof is reconsidered in this article which deals, in a general context, with the relations between wave propagation and linear stability. A new elegant proof of Hadamard's theorem, recently proposed by G. Fichera, is briefly reported at the end of the article.

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Résumé Les liens entre la stabilité de l'équilibre et la propagation des ondes dans un milieu élastique ont été codifiés dès 1903, par J. Hadamard. La démonstration originaire du théorème présente toutefois un point douteux, mis en évidence par P. Duhem. Une démonstration plus élaborée, qui parait mathématiquement corrècte même en des conditions physiques plus générales, a été proposée plus tard par l'auteur de cet exposé. Cette démonstration est reprise dans l'article suivant, qui envisage dans un contexte général les relations entre la propagation des ondes et la stabilité linéaire. Une nouvelle et élégante démonstration du théorème de Hadamard, proposée récemment par G. Fichera, est résumée à la fin de l'article.

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Lecture delivered at the Italy-USA Seminar on Existence and Stability in Elasticity, Udine, June 26–30, 1971.     

Genäherte Berechnung von Wärmespannungen mit Hilfe der Variationsprinzipien der Elastostatik

Zusammenfassung Mit Hilfe von einfachen Näherungsansätzen, die in die, einem jeweiligen Problem zugehörigen Variationsintegrale eingeführt werden, kommt man im allgemeinen zu ausgezeichneten Approximationen. Neben der dem Ritzschen Verfahren entsprechenden Methode, Näherungsansätze bis auf willkürliche Konstanten vorzugeben, die dann aus Extremalbedingungen berechnet werden können, scheint vor allem das im letzten Abschnitt geschilderte Verfahren, das auf einfach lösbare Differentialgleichungen für die Näherungsfunktionen führt, eine besondere Bedeutung auch für andere Probleme der Elastizitätstheorie zu haben.Gekürzte Fassung einer von der Technischen Universität Berlin, Fakultät für Bauingenieurwesen, genehmigten Habilitationsarbeit. Der Verfasser spricht hiermit den Berichtern, Herrn Prof. I. Szabó und Herrn Prof. A. Teichmann seinen Dank aus.     

Une nouvelle définition des volumes libres dans les liquides non associés: application à la détermination des diamètres moléculaires

Résumé Une étude systématique des volumes libres extrapolés à fluidité nulle a été menée sur une vingtaine de liquides. Une nouvelle équation est proposée pour ce volume libre limite, noté «V.L.L.» et nous la comparons à celle déduite des calculs de l'Hydrodynamique classique; elle permet de déterminer les valeurs de diamètres moléculaires; ces dernières sont en bon accord avec celles obtenues de la viscosité des gaz, de la diffusion Raman ou Rayleigh. En outre, et aux erreurs expérimentales près, les valeurs des diamètres moléculaires sont données pour 10 dérivés du benzène, valeurs qui ne se trouvent pas, à notre connaissance, dans la littérature, exception faite du benzène pur.

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Summary A systematic study of free volumes extrapolated at zero fluidity is executed for 20 liquids. A new equation for this Limit Free Volume (V.L.L.) is proposed and compared with the theoretically calculated free volume; values of molecular diameters are determined and found to be in good agreement with values obtained from gas viscosity, Raman and Rayleigh scattering, respectively. Moreover, within experimental error, values of molecular diameters are found for 10 benzene derivatives which are not, at our knowledge, available in the literature, except for pure benzene.

Avec 1 figure et 3 tableaux     

Burnout at very high heat fluxes

The paper provides a brief overview of the present state-of-the-art in the field of the critical heat flux (CHF) in subcooled flow conditions, with particular regard to high liquid velocity and highly subcooled conditions. These thermofluid-dynamic conditions to reach very high values of the CHF (up to 80 MW/m²) as requested by fusion technology requirements. After reporting the general features of the problems, some details are given about the main parameters affecting CHF in subcooled flow boiling (subcooling, pressure, duct diameter and length, fluid velocity, duct orientation and flow direction, heat flux distribution), and the respective knowledge and possible enhancement techniques for CHF (extended surfaces, hypervapotron, surface roughness, swirl flow, helically coiled wires) are reviewed. As fundamental aspects of highly subcooled flow boiling are not known and, on the other hand, such knowledge is necessary for any possible enhancement technique evaluation and for a theoretical modelling of the phenomenon, recent experiments carried out over the last five years on CHF in subcooled flow boiling are reviewed together with the main correlations and models currently used for data prediction, and suggestions for particular and general research guidelines are given.Der Aufsatz gibt einen kurzen Überblick über den gegenwärtigen Stand der Technik im Bereich der kritischen Wärmestromdichte bei unterkühltem Strömungssieden, mit besonderem Schwerpunkt auf hohe Flüssigkeitsgeschwindigkeiten und hohen Unterkühlungsbedingungen. Diese thermo- und fluiddynamischen Bedingungen ermöglichen es, sehr hohe Werte der kritischen Wärmestromdichte (bis zu 80 MW/m²) zu erreichen, wie sie in den Anforderungen der Fusions-Technik verlangt werden. Nach einem Abschnitt über allgemeine Gesichtspunkte des Problems werden ein paar Einzelheiten der Hauptparameter bezüglich der kritischen Wärmestromdichte bei unterkühltem Strömungssieden (Unterkühlung, Druck, Rohrleitungsdurchmesser und Länge, Fluidgeschwindigkeit, Rohr-Orientierung und Strömungsrichtung, Wärmestromverteilung) genannt. Es wird ein Überblick gegeben über den jeweiligen Wissensstand und mögliche Verbesserungstechniken für die kritische Wärmestromdichte (vergrößerte Oberflächen, Hypervapotron, Oberflächenrauheit, Drallströmung, spiralförmig gewickelte Drähte). Da grundlegende Aspekte von extrem unterkühlten Strömungssieden unbekannt sind, eine Kenntnis dieser Aspekte andererseits für jede mögliche Entwicklung von Verbesserungstechniken sowie für eine theoretische Modellbildung über das Phänomen notwendig ist, wird eine Übersicht über die neuesten Experimente gegeben, die in den letzten fünf Jahren über die kritische Wärmestromdichte bei unterkühltem Strömungssieden durchgeführt wurden. Gleichzeitig werden die wichtigsten Korrelations-Gleichungen und Modelle besprochen, die heutzutage für Daten-Vorausberechnungen verwendet werden sowie Vorschläge für besondere und allgemeine Forschungsrichtlinien unterbreitet.Dedicated to Prof. Dr.-Ing. U. Grigull's 80th birthday     

Über die Kräfte auf beschleunigt bewegte,veränderliche Tragflügelprofile

Zusammenfassung Unter Zugrundelegung der Lambschen Theorie gelingt es, die Formeln für die Kräfte auf ein beliebiges, deformierbares Profil aufzustellen, auch bei Berücksichtigung von Wirbeln im Außenraum infolge der Änderung der Zirkulation um das Profil. Die allgemeinen Kräfte für dünne Profile, für die die Gültigkeit der Kutta-Joukowskischen Formel nachgewiesen wird, lassen sich durch einen einfachen Ansatz, ähnlich wie im Stationären, verhältnismäßig leicht auswerten. Einige Beispiele zeigen die Anwendbarkeit der gewonnenen Ergebnisse; dabei beschränken wir uns auf die einfachsten Fälle, bei denen bei quasistationärer Betrachtung näherungsweise der Einfluß der Wirbel im Außenraum des Profils zu vernachlässigen ist, um dafür den Einfluß einer kennzeichnenden Größe leicht erkennbar werden zu lassen.     

Nichtstationäre,kugelsymmetrische Gasbewegung und nichtstationäre Gasströmung in Düsen und Diffusoren

Zusammenfassung Die nichtstationäre, kugelsymmetrische, reibungsfreie Gasströmung wird als eine eindimensionale Gasbewegung in einem Quellfeld angesehen. Das Quellfeld läßt sich annähern entweder durch Quellebenen in kleinen Abständen oder durch ein Quellfeld mit stückweise konstanter Ergiebigkeit. Bei der ersten Näherung läßt sich die Quellebene als plötzliche Querschnittsänderung bei einer Diffusorströmung ansehen, und man hat die Aufgabe, die Gasbewegung in einem Kanal mit stückweise konstantem Querschnittsverlauf zu bestimmen. Nach der Diskussion der Kreuzung einer Welle mit einer unstetigen Querschnittsänderung, die bei nach innen gerichteten, genügend starken Wellen das Auftrcten der kritischen Schallgeschwindigkeit zeigt, läßt sich die für eindimensionale Gasbewegung ermittelte Näherungsmethode anwenden, womit man in allen Fällen zu einer Näherungslösung gelangt, deren Genauigkeit man beliebig steigern kann. Als Anwendungsbeispiel wird die auf adiabatische Zustandsänderung vereinfachte Explosion behandelt. Die zweite Möglichkeit einer Näherungsmethode, die bei einem Quellfeld stückweise konstanter Ergiebigkeit zu einer Iteration der Potentialgleichung führt, wird angedeutet.     

On Asymptotics of Solutions of Nonlinear Differential Equations of the Second Order

We study the problem of asymptotics of unbounded solutions of differential equations of the form y″ = α₀ p(t)ϕ(y), where α₀ ∈ {−1, 1}, p: [a, ω[→]0, +∞[, −∞ < a < ω ≤ +∞, is a continuous function, and ϕ: [y ₀, +∞[→]0, +∞[ is a twice continuously differentiable function close to a power function in a certain sense.__________Translated from Neliniini Kolyvannya, Vol. 8, No. 1, pp. 18–28, January–March, 2005.     

Die freien Massenkräfte des Sternmotors

Zusammenfassung Bei den bisherigen Untersuchungen über die Massenkräfte von Sternmotoren mit mittelbarer Nebenpleuelanlenkung, die sich auf die Kräfte erster und zweiter Ordnung beschränkten, ergaben sich für ausgeführte Motoren, besonders bei großen Zylinderzahlen, noch beträchtliche Kräfte zweiter Ordnung. Durch eine erweiterte Untersuchung, die auch die Glieder höherer Ordnung umfaßt, konnte für den praktisch wichtigen Fall der regelmäßigen Nebenpleuelanlenkung, wobei sämtliche Anlenkhalbmesser einander gleich und die Anlenkwinkel jeweils gleich den zugehörigen Zylinderwinkeln sind, allgemein gezeigt werden, daß nur Kräfte erster, zweiter und höherer gerader Ordnung auitreten, während samtliche Kräfte ungerader Ordnung verschwinden. Die noch explizit angegebenen Kräfte vierter Ordnung werden in der Regel sehr klein.     

Zur homogenen Maschine mit Zusatzdrehmassen

Zusammenfassung Unter gewissen Bedingungen liefern die für die Berechnung der Eigenwerte einer homogenen Maschine mit Zusatzdrehmassen maßgebenden transzendenten Gleichungen bei alleiniger Berücksichtigung der reellen Lösungen zu wenig Eigenfrequenzen. Die fehlenden Frequenzen — es handelt sich hierbei stets um die höchsten — erhält man aus den komplexen Lösungen. Es werden, unter Beschränkung auf eine oder zwei Zusatzmassen, die Bedingungen untersucht, bei denen komplexe Eigenwerte auftreten, und die in diesen Fällen geltenden Gleichungen für die Eigenfrequenzen, Momente und Drehwinkel abgeleitet. Neben dem Verhältnis der Trägheitsmomente ist auch dasjenige der Federkonstanten für das Auftreten komplexer Lösungen von Bedeutung, so daß solche, wie man aus den zuständigen Bedingungsgleichungen ersieht, auch bei sehr großen Zusatzmassen vorkommen können. Man kann übrigens zeigen, daß beim Vorhandensein von z Zusatzmassen maximal z komplexe Eigenwerte möglich sind.Es sei hier noch vermerkt, daß sich die gewonnenen Ergebnisse analog auf homogene Schwingungsketten mit Zusatzmassen an den Enden übertragen lassen.     

Der Spannungszustand in der rotierenden spröden Scheibe

Zusammfassung Es wird mit dem neuen nichtlinearen Elastizitätsgesetz spröder Körper unter der Annahme, daß Lochrand und Außenrand der rotierenden Scheibe kräftefrei sind, die Differentialgleichung des Problems aufgestellt und durch eine Näherung gelöst. Verschiebung und Spannungen werden als Funktion des Radius berechnet sowie eine einfache Formel für die Abhängigkeit der am Lochrand auftretenden Tangentialspannung von der Umlaufsgeschwindigkeit angegeben. Die Bachsche Vermutung, daß die Sprengfestigkeit praktisch gleich der Zugfestigkeit ist, wird bestätigt. Die Umfangsgeschwindigkeit, bei der der Bruch erfolgt, berechnet sich nach (47).Wenn auch die entwickelte Näherungsmethode den Bach-Grüblerschen Gegensatz erklärt, so ist trotzdem zu fordern, daß sie einer Prüfung durch den Versuch unterzogen wird, da erst nach Messung der Empfindlichkeiten der in Frage kommenden Werkstoffe die Frage entschieden werden kann, ob eine Erhöhung der zulässigen Geschwindigkeit sich mit den Fragen der Betriebssicherheit in Einklang bringen läßt.Zum Schluß danke ich auch an dieser Stelle Herrn Prof.Prandtl und der Notgemeinschaft der deutschen Wissenschaft für die Möglichkeit, in dem Göttinger Institut für angewandte Mechanik arbeiten zu dürfen.     

Very high Reynolds number boundary layers over 3D sparse roughness and obstacles: the mean flow

Hot-wire and oil-film interferometry measurements are taken for 3D rough wall boundary layers at very high Reynolds numbers (61,000 < Re θ < 120,000) with low blockage ratios, 10 < δ/H < 135, and high roughness, 100 < H ⁺ < 4,900. The results cover flows over both rough walls and over obstacles and are compared with and provide extension to recent lower Reynolds number results. The validity of the Townsend ‘wall similarity hypothesis’ in relation to consistently increasing 3D roughness is interrogated. In agreement with recent work, Schultz and Flack (J Fluid Mech 580:381–405, 2007) and Castro (J Fluid Mech 585:469–485, 2007) found that, for relatively low roughness, Townsend’s hypothesis holds for the mean velocity field. With increasing roughness, the equilibrium layer diminishes and gradually vanishes. The viscous component of the wall shear stress decreases, while the turbulent component increases as the roughness effects extend across the boundary layer.     

On the first boundary value problem for the classical theory of elasticity in a three-dimensional domain with a singular boundary

An existence and uniqueness theorem is proved for the first boundary value problem of classical elasticity, relating to a broad class of three-dimensional domains whose boundaries may have edges and vertexes.The qualitative properties, up to the boundary, of the solution are investigated.

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Résumé On démontre un théorème d'existence et unicité pour le premier problème de valeurs au contour de l'élasticité classique, concernant une large classe de domaines de l'éspace à trois dimensions, avec des frontières présentant des arètes et des sommets.On étudie les propriétés qualitatives, jusque'au contour, de la solution.

     

Experimental study of natural convection heat transfer between an outer horizontal cylindrical envelope and an inner concentric heated square cylinder with two slots

This paper presents the results of an experimental study of natural convection heat transfer between a horizontal cylindrical envelope and an internal concentric heated square cylinder with two slots. The internal cylinder was a hollow one with horizontal slots on its top and bottom surfaces. The ratio of slot widthS to the side heightH was 0.0612 and 0.3878. The ratio of the envelope inner diameterD _o to the side heightH was 2.653. Air was used as the working fluid. The range of Ray-leigh number was 1.77×10²8.72×10⁶ forS/H=0.0612 and 1.32×10²6.25×10⁶ forS/H=0.3878. The results show that there are three different heat transfer regimes in different Ray-leigh number regions, i.e. pure conduction regime, transition regime and convection regime. The average heat transfer results were correlated into two empirical equations. Comparison was made with the non-slotted case. It is found that slots of the internal cylinder can significantly enhance the heat transfer.

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Experimentelle Untersuchung des Wärmeübergangs bei natürlicher Konvektion zwischen einer horizontalen zylindrischen Außenhülle und einem konzentrischen, beheizten, quadratischen Prisma mit zwei Schlitzen

Zusammenfassung In der Arbeit werden die Ergebnisse einer experimentellen Untersuchung des Wärmeübergangs bei natürlicher Konvektion zwischen einer horizontalen zylindrischen Außenhülle und einem beheizten quadratischen Prisma mit zwei Schlitzen vorgestellt. Das Prisma selbst ist hohl und weist in der oberen und unteren Begrenzungsfläche je einen horizontalen Längsschlitz auf. Das Verhältnis von SchlitzweiteS zu SeitenhöheH beträgt 0,0612 und 0,3878, das des HülleninnendurchmessersD _o zur SeitenhöheH beträgt 2,653. Als Arbeitsmedium diente Luft. Die Rayleigh-Zahlen variierten zwischen 1,7·10² und 8,72·10⁶ fürS/H=0,0612 und zwischen 1,32·10² und 6,25·10⁶ fürS/H=0,3878. Die Ergebnisse belegen die Existenz dreier unterschiedlicher Wärmeübergangsregime in den verschiedenen Rayleigh-Zahl-Bereichen, und zwar reiner Leitungsbereich, Übergangsgebiet und Konvektionsbereich. Die Ergebnisse für den Wärmeübergang werden im Vergleich mit jenen für ein Prisma ohne Schlitze durch zwei Korrelationbeziehungen dargestellt. Es zeigt sich, daß durch Anbringung von Schlitzen am Innenprisma der Wärmeübergang wesentlich verstärkt werden kann.

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Nomenclature C _p specific heat at constant pressure, J/(kg·K) - D _i diameter of the related circular cylinder whose circumferential area is equal to that of the unslotted square cylinder, m - D _o internal diameter of the outer circular envelope, m - F _i surface area of the inner two slot cylinder, m - g gravitational acceleration, m/s² - H distance between the opposite sides of the square cylinder with two slots, m - K _eq dimensionless equivalent thermal conductivity - L axial length of the test section, m - m ratio of the area of the unslotted square cylinder surface to that of the slotted square cylinder - P pressure in the enclosure, Pa - Q total power input to the enclosure, W - Q _cond radial heat conduction, W - Q _conv convective heat transfer, W - Q _r radiation heat transfer, W - Q _los end heat dissipation, W - R air gas constant, J/(kg·K) - Ra Rayleigh number - S slot width, m - T _i wall temperature of the inner cylinder, K - T _o wall temperature of the outer envelope, K - T _m mean temperature, K - T temperature difference=T _i –T _o , K - W maximum gap width of the test annuli=(D _o –H)/2 for the square case, m Greek symbols ₀ black body radiation constant, W/(m²·K⁴) - _s equation system emissivity - air thermal conductivity, W/(m·K) - _eq equivalent thermal conductivity, W/(m·K) - air dynamic viscosity, kg/(m·s) This work was supported by the National Natural Science Foundation of China.     

Vergleichende Untersuchungen der Strömungsprofile und des Fließverhaltens Nicht-Newtonscher Flüssigkeiten im Rotationsviskosimeter

Übersicht Es wird die Verträglichkeit der aus drei verschiedenen Meßverfahren resultierenden Aussagen über das Fließverhalten Nicht-Newtonscher Flüssigkeiten im Couette-Spalt für die beiden Fälle untersucht, daß das Material entweder dem Ostwaldschen oder dem Prandtlschen Fließgesetz gehorcht. Für die benutzten Verfahren: 1. Ausmessung des Strömungsprofils, 2. Entspannungsmessung, und 3. Messung der Drehmomente bei konstanten Drehzahlen des Rührers, werden zweckmäßige, graphische Auswerteverfahren entwickelt, die bereits durch einen Formvergleich zwischen Meßkurven und Musterkurven eine Entscheidung zugunsten des einen oder anderen Fließgesetzes ermöglichen, wenn die Streuung der Meßdaten es zuläßt. Am Beispiel einer Tonsuspension wird gezeigt, daß eine Entscheidung über die Gültigkeit eines der beiden Ansätze jedoch auch bei größeren Streuungen der Versuchswerte gefällt werden kann, wenn man die aus den drei Verfahren resultierenden Ergebnisse auf ihre Verträglichkeit prüft.

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Summary The compatibility of the results of three different testing methods concerning the flow behaviour of Non-Newtonian liquids within the Couette-gap is examined for both cases, whether the material follows either Ostwald's or Prandtl's law of flowing. For the employed procedures: 1. Measuring of the flow profile, 2. Measuring of the torsion release, 3. Measuring of the torque of constant rotational speed of the stirrer, suitable graphical methods of valuation are developed, to decide in comparison with the form between measuring curves and master curves in favour of one flowing law or the other, provided that the scattering of test results permits it. At the example of a clay suspension it is shown that a decision concerning the validity of one of the two formulae can be given, if the results are being judged with respect to their compatibility.

     

Der Spannungszustand in einfachen oder ringverstärkten Rohrabzweigungen an Kugelbehältern unter Innendruck

Zusammenfassung Bei der Verbindung von Rohren mit Behältern, die unter Innendruck stehen, stellt sich die Frage, wie der Rand des Mündungsloches in der Behälterwand am wirkungsvollsten verstärkt werden kann. Eine einigermaßen übersichtliche, elastizitätstheoretische Antwort, die auch einfach zu bestimmende numerische Ergebnisse einschließt, ist zunächst nur bei der Behandlung von kugelschaligen Behälterwänden zu erwarten. Dabei erweist sich der kompakte Verstärkungsring gegenüber einem von außen aufgesetzten oder ein Stück in den Behälter hineinragenden Rohr als mehrfach wirksamer. Es besteht die Möglichkeit, den Ring so zu bemessen, daß die Beanspruchung der Wände des Rohres und des Behälters im Bereich des Übergangs (am Rande des Loches) nur ca. 10% über der Beanspruchung im ungestörten Bereich liegt. Wenn bei der Herstellung der Verbindung (insbesondere der Schweißnähte) die notwendige Sorgfalt aufgewendet wird, kommt die Gestaltfestigkeit der Verbindung der elementaren Festigkeit des Behälterwerkstoffes sehr nahe.Prof. Dr.-Ing. Rudolf Sonntag zum 70. Geburtstag am 11. November 1962     

Similarities Between Rotation and Stratification Effects on Homogeneous Shear Flow

Linear theory is applied to examine rotation and buoyancy effects on homogeneous turbulent shear flows with given vertical velocity shear, S=d/dx ₃. In the rotating shear case (where the rotation vector is perpendicular to the plane of the mean flow, Ω _i =Ωδ _{i 2}), general solutions for the Fourier components of the fluctuating velocity are proposed. These solutions are compared with those proposed in the literature for the Fourier components of the fluctuating velocity and density in the case of a homogeneous stratified shear flow with vertical density gradient, S _ρ=d/dx ₃. It is shown that from the normal mode stability stand point the Bradshaw parameter B=2Ω/S(1+2Ω/S) (in the rotating shear case) and the Richardson number R _i (in the statified shear case) play similar roles in identifying the stability for all the wave components except in the case where Ω·k=0, for which rotation has no effects on the flow. Analysis of the long-time behavior of the non-dimensional spectral density of energy, e ^g , is carried out. In the stable case, e ^g has decaying oscillations or undergoes a power law decay in time. Analytical solutions for the streamwise two-dimensional energy ℰ _ii ¹/2 (i.e. the limit at k ₁=0 of the one-dimensional energy spectra) are proposed. At large time, ℰ _ii ¹(t)/ℰ _ii ¹(0) oscillates around the value (3R _i +1)/(4R _i ) except at R _i =1 it stays constant in time. Similar behavior for ℰ _ii ¹(t)/ℰ _ii ¹(0) is also observed in the rotating shear case (ℰ _ii ¹(t)/ℰ _ii ¹(0) oscillates around the value (1+4B)/(4B)). Due to the behavior of the dimensionless spectral density of energy in both flow cases, the turbulent kinetic energy, /2, the production rate, ?, and the rate due to the buoyancy forces, ℬ, are split into two parts, , ?=?₁+?₂, ℬ=ℬ₁+ℬ₂ (in the stratified shear case, both ?₁ and ℬ₁ vanish when R _i >?, while in the rotating shear case one has ℬ=0). It is shown that when rotation is “cyclonic” (i.e. Ω/S>0), part reaches maximum magnitudes at St ≈2, independent of the B value, and the first time to a zero crossing of ?₂ occurs at this particular value. When rotation is “anticyclonic” (i.e. Ω/S<0) one finds St ≈1.6 instead of St ≈2. In the stratified shear case, both ?₂ and ℬ₂ cross zero at Nt=St ≈2, and part reaches maximum magnitudes at this particular value. These results and in particular those for the turbulent kinetic energy are compared with previous direct numerical simulation (DNS) results in homogeneous stratified shear flows. Received 30 July 2001 and accepted 19 February 2002     

Application of the Galerkin-Kantorovich-Dorodnitsyn method of integral relations to the solution of steady laminar boundary layers

Summary The Galerkin-Kantorovich-Dorodnitsyn N-parameter method of integral relations belongs in the same general category as those of Ritz and Galerkin. The method is employed to solve the steady, incompressible, two-dimensional flow of a laminar boundary layer. General Nth-order solutions are obtained for regions of accelerated flow and, with a modification to account for a possible separation point, for regions of retarded flow. The convergence and accuracy of the method are evaluated by comparing the solutions with a large number of similar and nonsimilar flow problems. The method permits a separation point to be approached as closely as desired without encountering numerical difficulties or requiring special continuation techniques.

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Übersicht Die N-Parameter-Methode der Integralbeziehungen von Galerkin, Kantorovich und Dorodnitsyn gehört zur gleichen Klasse wie die Verfahren von Ritz und Galerkin. Diese Methode wird benützt, um Lösungen für die stationäre, inkompressible, zwei-dimensionale Strömung einer laminaren Grenzschicht zu finden. Allgemeine Lösungen N. Ordnung werden für Gebiete mit beschleunigter Strömung erhalten und, mit gewissen Abänderungen zur Berücksichtigung eines möglichen Ablösepunktes, auch für Gebiete einer verzögerten Strömung. Die Konvergenz und die Genauigkeit der Methode werden durch Vergleich der Lösungen mit zahlreichen ähnlichen und nicht-ähnlichen Strömungsproblemen untersucht. Die Methode erlaubt eine beliebig weitgehende Annäherung an den Ablösepunkt, ohne daß numerische Schwierigkeiten auftreten oder besondere Grenzwertbetrachtungen erforderlich wären.

     

Über den geraden Knickstab mit begrenzter Durchbiegung

Zusammenfassung Die Untersuchung des durch ebene, starre Flächen in seiner Durchbiegung begrenzten geraden Knickstabes mit Hilfe der elementaren Biegetheorie führt auf eine interessante Durchschlagerscheinung. Unabhängig von der Art der Lagerung der Stabenden stützt sich nach Überschreitung der zugehörigen Eulerschen Knicklast der Stab an der Stelle seiner größten Durchbiegung gegen eine der Stützflächen ab. Die sich dabei ausbildende Stützkraft wächst mit zunehmender Stablast an, während sich gleichzeitig die Stabkrümmung an der Anlagestelle verringert.Erreicht die Stabkrümmung an der Anlagestelle die Krümmung der Stützfläche, dann bildet sich bei weiterer Steigerung der Stablast ein an der Stützfläche anliegendes, ungekrümmtes und daher momentenfreies Stabstück aus, an dessen Enden Einzelkräfte von der Stützfläche auf den Stab übertragen werden. Die Länge dieses Stabteiles wächst mit der Stablast solange an, bis diese die Größe der Eulerschen Knicklast des als an beiden Enden eingespannt anzusehenden geraden Stabteiles erreicht. Der nun einsetzende Knickvorgang des bis dahin an der Stützfläche anliegenden Stabteiles kann wegen der zunehmenden Knicklänge mit sich verringernder Stablast aufrecht erhalten werden. Bei unveränderter Stablast schlägt daher der mittlere Stabteil durch und kommt an der gegenüberliegenden Stützfläche zur Anlage.Bei weiterer Steigerung der Stablast kann der Stab immer als aus Teilstäben zusammengesetzt aufgefaßt werden, deren Lagerung den hier untersuchten drei Grundfällen entspricht. Es ist daher nicht zu erwarten, daß eine Weiterführung der Untersuchung noch zu grundsätzlich neuen Erkenntnissen führt.     

Conjugate heat transfer in enclosures with openings for ventilation

Conjugate heat transfer by natural convection and conduction in enclosures with openings has been studied by a numerical method. The enclosure contained a chimney consisting of a vertical solid wall, which was insulated on one side and a constant heat flux applied on the other. Vertical boundaries with openings were isothermal and horizontal boundaries adiabatic. These problems are encountered in heat transfer in buildings and heat management in electronic equipment. Two dimensional equations of conservation of mass, momentum and energy, with the Boussinesq approximation are solved using the Simpler method. Various geometrical parameters were: aspect ratio, A from 0.5 to 2.0, openings' heights, h ₁ and h ₂ from 0.10 to 0.30, orifice height, h ₃ from 0.05 to 0.15, insulation thickness, w ₁ from 0 to 0.10, wall thickness, w ₂ from 0.05 to 0.15 and chimney width, w ₃ from 0.05 to 0.15. Rayleigh number, Ra was varied from 10 ⁸ to 10 ¹² and the conductivity ratio, k _r was from 1 to 40. The results are reduced in terms of the normalized Nusselt number, Nu and volume flow rate, V? as a function of Ra number, and other non dimensional geometrical parameters. The isotherms and streamlines are produced for various Ra numbers and geometrical conditions. It is found that Nu and V? are both an increasing function of Ra, h ₁ at high Ra numbers, h ₃, and k _r. They are a decreasing function of h ₁ at low Ra numbers, h ₂, and w ₂. Nu and V? have optima with respect to w ₁, w ₃ and A.