Sulla stabilità di un fluido politropico, viscoso e pesante in un contenitore limitato da pareti perfette conduttrici di calore

Sunto In questa Nota, si affronta il problema del comportamento asintotico nel tempo di perturbazioni alla quiete per il sistema di equazioni per un fluido comprimibile, viscoso e politropico. Ammesso che esista una soluzione regolare globale, si dimostra, sotto l’ipotesi che il gradiente della temperatura assegnata al bordo sia piccolo, che la differenza tra la soluzione corrispondente a dati iniziali arbitrari e la quiete decade a zero pert che tende ad infinito nella normal diL ².

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We consider the equation system for a compressible viscous polytropic fluid in a regualar bounded domain and we study the asymptotic behavior as time goes to infinity of perturbations with respect to the basic rest state. Under the assumption of the smallness of the gradient of the given temperature on the boundary, we prove the exponential decay of theL ²-norm of the difference between the solution corresponding to arbitrary initial data and the rest state.

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The second author thanks the 60% contract MURST, also she acknowledges the GNFM of italian CNR-INDAM for financial supports.     

Su alcune proprietà di geometria euclidea ed hermitiana in uno spazio vettoriale quaternionale

Riassunto Identificati, in modo opportuno, gli spazi vettoriali Qⁿ ed R⁴ⁿ, si esaminano varie proprietà che intercorrono tra la metrica hermitiana di Qⁿ e la metrica euclidea di R⁴ⁿ. Si definisce poi, per ogni sottospazio E_t di E _4n (t =1, 2, 3, 4) una nozione di deviazione caratteristica assoluta che estende l'analoga nozione nota nel caso di cⁿ. Si riescono così a caratterizzare i sottospazi E_t pseudocaratteristici (cioè contenuti in un E₄ che si identifica ad una retta di Qⁿ), ed i sottospazi E_t a prodotto hermitiano reale. Lavoro eseguito nell'ambito dell'attività dei Gruppi di Ricerca del Comitato per la Matematica del C. N. R. per l'anno accademico 1964–65.     

Hilbert polynomials and powers of an ideal

Sunto Nel n1. viene definito il complesso generalizzato di Koszul K(A; E; t) di R-moduli associato ad una matrice A sopra un anello R e un R-modulo E. Si studia poi K(A; E; t) nel caso particolare in cui A sia una matrice della forma B(m, s) data nel n.3. Si dimostra infine che, sotto certe condizioni di finitezza, la lunghezza di ogni modulo d'omologia à una funzione polinomiale in m per m grande, e che per ogni m ≥1 la caratteristica di Euler-Poincaré è il prodotto di un coefficiente binomiale per la caratteristica del complesso di Koszul K(B(1, s); E;0).

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Entrata in Redazione il 18 novemb e 1972.     

On a quadratic functional occurring in a bivariate scattered data interpolation problem

Sunto L’applicazione di noti metodi che utilizzano funzioni di tipo blending per la costruzione di funzioni bivariate C¹ per l’interpolazione di dati, richiede la conoscenza delle derivate parziali del primo ordine ai vertici di una triangolazione sottostante. In questo lavoro consideriamo il metodo proposto da Nielson, che consiste nel calcolare stime delle derivate parziali del primo ordine minimizzando un opportuno funzionale quadratico, caratterizzato da parametri di tensione non negativi. Scopo del lavoro è l’analisi di alcune proprietà particolari di questo funzionale per la costruzione di algoritmi efficienti e robusti per la determinazione delle stime suddette delle derivate quando si ha a che fare con insiemi di dati di grandi dimensioni. Abstract The application of widely known blending methods for constructingC ¹ bivariate functions interpolating scattered data requires the knowledge of the partial derivatives of first order at the vertices of an underlying triangulation. In this paper we consider the method proposed by Nielson that consists in computing estimates of the first order partial derivatives by minimizing an appropriate quadratic functional, characterized by nonnegative tension parameters. The aim of the paper is to analyse some peculiar properties of this functional in order to construct robust and efficient algorithms for determining the above estimates of the derivatives when we are concerned with extremely large data sets.      

Una proprietà dei simboli non-omogenei,e degli operatori pseudo-differenziali associati

Riassunto In questo lavoro si considera la classe di simboli da noi introdotti nel lavoro [2] e si dimostra che tale classe è invariante rispetto a una certa trasformazione di variabili nello spazioR _ξ ⁿ ; in seguito, una certa maggiorazione per operatori pseudo-differenzialiA(x, D) associati a simboli ellittici, viene ottenuta.

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Résumé Dans ce travail on considère la classe de symboles introduite par nous dans le travail [2] et on démontre que cette classe est invariante par rapport à une certaine transformation de variables dans l'espaceR _ξ ⁿ ; ensuite une certaine majoration pour opérateurs pseudo-différentiels associés aux symboles elliptiques est obtenue.

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Questo lavoro è stato effettuato mentre l'autore godeva di una sovvenzione del Centro Nazionale delle Ricerche del Canadà. ≠ 6445, attraverso l'Università di Montréal.     

Nuovi risultati nella teoria diametrale delle superficie algebriche

Riassunto Nella presente Nota metto in rilievo anzitutto una corrispondenza [1, (n−1)²] che sussiste fra i piani diametrali di una superficie algebrica di ordinen e le corrispondenti direzioni coniugate e ne deduco la proprietà che i piani diametrali si dispongono a gruppi di (n−1)² piani paralleli. Ciò posto, procedo alla ricerca dei piani diametrali autoconiugati e mutuamente coniugati della superficie in riferimento al comportamento della stessa superficie con il piano all’infinito ponendo particolare riguardo alle superficie di ordinen (pari) aventi in comune con il piano all’infinito una conica contatan/2 volte (quadriche generalizzate).

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Résumé Dans cette Note j’établis avant tout, une correspondance [1, (n−1)²] qui existe pour les plans diamétraux d’une surface algébrique générale d’ordren et les correspondantes directions conjuguées et j’en déduis la propriété que les plans diamétraux de la surface se disposent en groupes de (n−1)² plans parallèles. Cela posé, je proiede à la recherche des plaus diamétraux autoconjugués et mutuellement conjugués de la surface à l’égard de la nature de la courbe d’intersection de la surface avec le plan à l’infini, considerant particulièrment les surfaces d’ordren (pair) qui recontrent le plan à l’infini suivant une conique comptéen/2 fois (quadriques généralisées).

     

Problemi ellittici con dati singolari

Sunto Si stabiliscono dei teoremi di esistenza e di unicità per i problemi al contorno relativi ad un'equazione ellittica in un insieme aperto e limitatoΘ di Rⁿ, nel caso che la frontiera∂ ^Θ abbia delle singolarità e nel caso che i coefficienti ed il termine noto dell'equazione siano singolari su∂Θ. Lavoro eseguito con contributo del C. N. R. Entrata in Redazione il 10 dicembre 1969.     

Frontiere minimali con ostacoli

Riassunto Recentemente diversi autori (v. [15], [16], [17], [18], [19], [20]) si sono interessati di problemi di esistenza e di regolarità di soluzioni di problemi variazionali verificanti diseguaglianze. In questo articolo considereremo il caso delle ipersuperfici minimali (di area minima), più precisamente delle frontiere minimali nel senso diDe Giorgi (v. [2] o [3]). Il risultato di regolarità, che è quello che ci pare più interessante, è grosso modo il seguente:frontiere minimali rispetto ad un ostacolo di classe C ¹ sono di classe C¹ in un intorno dell'ostacolo stesso. Il Teorema 2 del § 3 contiene l'enunciato preciso di tale risultato. Nel § 2 si fanno alcune considerazioni sulla validità del teorema di Bernstein per le frontiere minimali, in esso si prova (v. il Teorema 1) che un insieme avente frontiera non vuota minimale inR ⁿ e contenente un semispazio è esso stesso un semispazio. Tale risultato serve per la dimostrazione del teorema 2. Nel § 1 sono contenuti alcuni complementi alla teoria delle frontiere minimali.

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Résumé On considère le problème des hypersurfaces minimales en présence d'obstacles. On prouve le résultat de regularité suivant: ?les hypersurfaces minimales en présence d'obstacles de classeC ¹ sont de classeC ¹ dans un environ de l'obstacle?.

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Lavoro eseguito nell'ambito dell'attività dei gruppi di ricerca del C.N.R. nell'anno 1970.     

Nomografia anaglifica

Riassunto In questo articolo vengono presentati due nomogrammi che servono come sostegno per la rappresentazione di funzioni a più variabili. Ognuno di questi nomogrammi è costituito da due reticolati sovrapposti disegnati in due colori complementari. Essi vengono osservati attraverso le lenti di occhiali anaglifici colorate ciascuna in uno dei due colori dei reticolati. Le condizioni particolari del disegno sono state scelte allo scopo di ottenere la visione stereoscopica del medesimo. Ne segue che le coppie di punti corrispondenti dei reticolati vengono viste come punti unici sopraelevati dal piano del nomogramma di altezze che vengono misurate per mezzo di un indice mobile. Data la funzione (1)F(α₁, α₂..., α_n) din variabili indipendenti (α₁, α₂..., α_n) separate o separabili riportiamo le scale delle funzioni parziali che costituiscono la (1) su i lati inferiori e di destra dei due reticolati e poi misuriamo, per mezzo dell'indice mobile, le altezze dei punti stereoscopici, visti attraverso gli occhiali anaglifici, che corrispondono agli adatti valori delle funzioni parziali. Con questo metodo si possono rappresentare funzioni di 8 variabili indipendenti legate fra loro per mezzo di operazioni razionali e irrazionali.

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Résumé Cet article montre deux nomogrammes qui servent de support pour la représentation de fonctions à plusieurs variables. Chaque nomogramme est constitué de deux réseaux superposés, dessinés aux deux couleurs complémentaires, qui sont observés à travers les lentilles de lunettes anagliphiques. Les conditions particulières du dessin ont été choisies dans le but d'obtenir sa vision stéréoscopique. Il s'ensuit que chaque couple, des points correspondants des réseaux, est vu comme un point unique surélevé au dessus du plan du nomogramme par une hauteur mesurée à l'aide dun index mobile. Soit (1)F(α₁, α₂..., α_n) une fonction den variables indépendantes (α₁, α₂..., α_n) séparées ou séparables. Tran?ons les échelles des functions partielles qui costituent la (1) des deux parties du c?té inférieur et du c?té droit des deux réseaux. Après cela mesurons à l'aide de l'index mobile les hauteurs des points stéréoscopiques, vues à travers les lunettes, qui correspondent aux valeurs données des fonctions partielles. En se servant de cette méthode on peut représenter des fonctions de 8 variables indépendantes liées entre elles par des opérations rationnelles et irrationnelles.

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L. Bonfiglioli,Anaglyphic Calculating Apparatus, Photogrammetric Engineering, U.S.A. (In corso di stampa).     

Sulla esistenza e sulla costruzione effettiva con la «piccola variazione» delle curve algebriche piane con assi di simmetria obliqua (in particolare ortogonale)

Riassunto Dimostrati alcuni opportuni teoremi viene datoun metodo per la ricerca degli eventuali assi di simmetria obliqua (in particolare ortogonale) di una curva algebrica piana di ordinen, nota che sia la sua equazione cartesiana e, viceversa, con l'uso della ?piccola variazione? viene indicato un procedimento costruttivo atto a tracciare curve algebriche piane di ordinen, dotate di dati requisiti di simmetria ed un procedimento analitico per scriverne la relativa equazione.

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Résumé Après avoir démontré quelques thêorèmes utiles on donneune méthode pour la recherche des éventuels axes de symétrie oblique (en particulier de symétrie orthogonale) pour une courbe algébrique plane d'ordren, si l'on conna?t son équation carthésienne. Vice versa, à l'aide de la ?petite variation?, on donne quelques avisements opportuns pour procéder ensuite à la construction effective des courbes algébriques planes d'ordren, douées de certaines qualités de symétrie et un procédé analytique pour écrire l'équation relative.

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Nota III     

Sulla classificazione delle curve algebriche sghembe in base alla determinazione di tutti i multilateri sghembi connessi per ogni ordine e genere

Riassunto In questa Nota si dà un metodo per ottenere il numero ed i tipi di multilateri sghembi di ordinen e generep dati, conn+p−1 vertici di connessione e che sono casi limite di curve algebriche sghembe irriducibili.

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Résumé Dans la prèsente Note on donne une méthode pour obtenir le nombre et les types des multilatères gauches d'ordren e de genrep donnés, ayantn+p−1 sommets de connexion, et qui sont des cas limites de courbes gauches algébriques irriductibles.

     

Vanishings for the cohomology of certain families of stable rank two vector bundles onP 3

Sunto Si analizzano delle condizioni per l'annullamento della coomologia di fibrati stabili di rango 2su P ³.Dopo i primi risultati di annullamento dovuti principalmente ad Hartshorne, Chang congetturò che alcune disuguaglianze sulle, classi di Chern fossero sufficienti per l'annullamento del primo gruppo di coomologia. La congettura finora è provata solo in alcuni casi particolari. Nel lavoro si dimostra la congettura in molti altri casi. In particolare si completano alcuni risultati recenti dovuti ad Ellia affrontando il caso in cui la prima classe di Chern è dispari.     

Una estensione del teorema di Fabry-Pólya-Ricci relativo al punto singolare delle serie di potenze

Sunto Si stabilisce una condizione sufficiente affinchè il punto z = 1 sia singolare per la serie Σ a_nzⁿ (di raggio 1); tale condizione tiene conto della cosiddetta ? sopra-emisimmetria ? per le componenti dei coefficienti appartenenti ad una successione di tratti, consente eccezioni alla sopra-emisimmetria e consente inoltre la posízione eccentrica generica per la coppia di componenti a somma preponderante. Nella forma generale della condizione si inquadrano, come casi particolari, una buona parte delle proposizioni note sull' argomento: in particolare tutte quelle che tengono conto della sopra-emisimmetria.

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Summary A sufficient condition is fixed in order that point z = 1 may be singular for the series Σ a_nzⁿ (radius 1): such condition, while keeping into account the so-called ? over-skewsymmetry ? for the components of the coefficients belonging to a succession of ? intervals ? makes it possible to have both exceptions to the over-skewsymmetry and an eccentric generical position for the couple of components giving the higher sum. The general form of the condition embraces, as particular cases, the greatest part of the propositions known on the argument: expecially the ones keeping over-skewsymmetry into account.

     

Sulle curve sghembe algebriche di residuale finito

Sunto. Si studiano le curve sghembe di residuale finito; si determina la base per l'ideale corrispondente; si dimostra che esse sono aritmeticamente normali secondoZariski; si approfondisce la classificazione delle curve che ilDubreil chiama di 2^a specie. Molti di questi risultati si estendono alle superficie e alle varietà.     

Projectively symmetric spaces

Sunto In questo lavoro l'autore estende la nozione di simmetria al caso di una varietà reale C dotata di una connessione proiettiva normale, introducendo la classe degli spazi proiettivamente simmetrici. L'autore prova che ogni spazio proiettivamente simmetrico p-iperbolico è proiettivamente equivalente ad uno spazio Riemanniano simmetrico di Einstein con curvatura negativa. Infine l'autore prova che una varietà Riemanniana completa n-dimensionale (n>/2) localmente affinemente simmetrica, proiettivamente simmetrica in senso proprio e proiettivamente omogenea è proiettivamente equivalente alla sfera Sⁿ oppure allo spazio proiettivo realeRP ⁿ.     

Some properties of nonnegative solutions of parabolic differential operators

Sunto In questo lavoro vengono prese in considerazione soluzioni deboli non-negative di equazioni paraboliche lineari del secondo ordine in forma di divergenza in un dominio cilindrico diR ⁿ×R. Per tali soluzioni si stabilisce un principio di tipo Harnach che si estende sino alla frontiera del dominio. Si prova poi che tale principio è équivalente ad una stima uniforme per la misura calorica associata ad ogni operatore del tipo suddetto. Per soluzioni continue nella chiusura del dominio è poi provata una versione più forte del prineipio di cut sopra.

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Lavoro eseguito nell'ambito del G.N.A.F.A.     

La risoluzione apiristica delle congruenze cubiche

Sunto. L'A. in una precedente Memoria degli ?Annali ? ha dimostrato che alle congruenze cubiche può assegnarsi la forma normalex ³+ax+a ≡ 0 (mod.p) conp primo, ed ha dato una formula apiristica di risoluzione nel caso che le tre radici della congruenza non abbiano lo stesso carattere quadratico modulop. è ripresa ora la questione e l'A. dimostra che la congruenza proposta può sempre trasformarsi linearmente in un'altra le cui radici non hanno lo stesso carattere quadratico modulop. Nel casop=6h+7, e nell'ipotesi che le tre radici della congruenza non abbiano lo stesso carattere cubico modulop, l'A. trova una nuova formula risolutiva della congruenza. Segue infine l'estensione del procedimento diNewton per la risoluzione approssimata delle equazioni alla risoluzione delle congruenze modulop ⁿ conn>2.     

Esistenza e molteplicità per gli autovalori non lineari dell’operatore −Δ−g rispetto a due ostacoli

Riassunto Si considera il problema dell’esistenza e della molteplicità delle autofunzioni e dei relativi autovalori non lineari di −Δ−g su un aperto limitato di R ⁿ rispetto a due ostacoli assegnati. Si studiano le soluzioni che tengono conto dei valori degli ostacoli anche su insiemi di misura di Lebesgue nulla ma di capacità positiva.

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Summary We consider the existence and the multiplicity of the eigenfunctions and of the related non linear eigenvalues for the operator −Δ−g on a bounded open subset of R ⁿ with respect to two given obstacles. We study the solutions which takes into account the values of the obstacle functions even on sets of null Lebesgue measure but of positive capacity.

     

Galois theory for bialgebroids, depth two and normal Hopf subalgebras

We reduce certain proofs in [16, 11, 12] to depth two quasibases from one side only, a minimalistic approach which leads to a characterization of Galois extensions for finite projective bialgebroids without the Frobenius extension property. We prove that a proper algebra extension is a leftT-Galois extension for some right finite projective left bialgebroid over some algebraR if and only if it is a left depth two and left balanced extension. Exchanging left and right in this statement, we have a characterization of right Galois extensions for left finite projective right bialgebroids. Looking to examples of depth two, we establish that a Hopf subalgebra is normal if and only if it is a Hopf-Galois extension. We characterize finite weak Hopf-Galois extensions using an alternate Galois canonical mapping with several corollaries: that these are depth two and that surjectivity of the Galois mapping implies its bijectivity.

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Sunto Riduciamo alcune prove di [16,11,12] a quasibasi di profondità due da un lato solo, un approccio minimalistico che conduce ad una caratterizzazione di estensioni di Galois per bialgebroidi proietivi finiti senza la proprietà di estensione di Frobenius. Dimostriamo che un'algebra che sia un'estensione propria è un'estensioneT-Galois sinistra per qualche bialgebroide finito proiettivo a sinistra su qualche algebraR se, e solo se, è un'estensione di profondità due a sinistra e bilanciata a sinistra. Scambiando destra e sinistra nell'enunciato, otteniamo una caratterizzazione di estensioni di Galois destre per bialgebroidi finiti proiettivi a destra. Guardando ad esempi di profondità due, otteniamo che una sottoalgebra di Hopf è normale se, e solo se, è un'estensione Hopf-Galois. Caratterizziamo le estensioni Hopf-Galois deboli finite usando un'applicazione canonica di Galois alternativa ottenendo parecchi corollari: queste sono di profondità due e la suriettività dell'applicazione di Galois implica la sua biiettività.

     

On infinitesimal and local rigidity of harmonic maps between spheres defined by spherical harmonics

Sunto Si studia la deformabilità infinitesimale e locale di mappe armoniche in sfere dimostrando che le immersioni minime standard f: S² Sⁿ (in particolare, la superficie di Veronese) sono localmente rigide. Si dà un esempio in cui la rigidità locale non implica la rigidità infinitesimale.

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During the preparation of this paper the second-named author was supported by the C.N.R. and enjoyed the hospitality of the Università di Cagliari, Istituto Matematico