Interaction of two curved cracks in an infinite plate

Summary The system of the singular integral equations for the double crack problem is presented. Basic idea is the approximation of the displacement jump function along the crack by a polynomial multiplied by a weight function. The single-valuedness condition of displacements is satisfied automatically, and the Cauchy singular integrals in the resulting integral equations can be evaluated in a closed form. Letting the integral equations be satisfied at some discrete points, the undetermined coefficients in the assumed polynomial can be obtained immediately. Therefore, theK-factors at the crack tips are obtainable. The problem of multiple curved cracks can be solved in a similar way. Several examples demonstrate the interaction effect between two cracks with the curve configuration.

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Wechselwirkung zwischen zwei gekrümmten Rissen in einer unendiichen Scheibe

Übersicht Vorgestellt wird das System der singulären Integralgleichungen für das Problem zweier gekrümmter Risse. Der grundlegende Lösungsgedanke ist die Approximation der Verschiebungsunstetigkeit längs des Risses durch ein mit einer Gewichtsfunktion multipliziertes Polynom. Die Bedingung eindeutiger Verschiebungen ist automatisch erfüllt, und die singulären Cauchy-Integrale der sich ergebenden Integralgleichungen können geschlossen bestimmt werden. Die Erfüllung der Integralgleichungen an einigen diskreten Punkten legt die Polynomkoeffizienten fest. Dann können die Spannungskonzentrationsfaktoren an den Rißspitzen bestimmt werden. Auf ähnliche Weise kann das Problem mehrerer gekrümmter Risse gelöst werden. Verschiedene Beispiele verdeutlichen die Wechselwirkung zwischen zwei Rissen in Abhängigkeit von ihrer gekrümmten Konfiguration.

     

Numerischer Stabilitätsnachweis dünner Schalen mit dem Konzept der Störenergie

Übersicht Es wird eine nichtlineare Eigenwertanalyse vorgestellt, die es ermöglicht, für stabilitätsgefährdete Tragwerke die Umgebung von bekannten Belastungszuständen nach kritischen Zuständen abzusuchen. Da alle im Rahmen der Theorie und Diskretisierung möglichen Störungen und Imperfektionen berücksichtigt werden, wird derjenige kritische Zustand gefunden, der mit einem Minimum an Störenergie erreicht wird. Auf diese Weise ist es möglich, die Störungs- oder Imperfektionssensitivität von Schalen mit einer nichtlinearen Eigenwertanalyse zu berechnen. Nach Kalibrierung des hier vorgeschlagenen Konzeptes der bezogenen Störenergie an statistisch ermittelten Versuchs-Grenzlasten können reale elastische Grenzbeullasten für beliebige Tragwerke berechnet werden, ohne daß der Ingenieur einschränkende Imperfektionen vorzugeben hat. Die derzeit erwogene Vorgabe von geometrischen Imperfektionen zur Erfassung der Imperfektionssensitivität von Schalen wird in einer Parameterstudie untersucht. Da die so berechneten Beullasten zum Teil erheblich von den Versuchs-Beullasten abweichen, wird das Vorgeben speziell von geometrischen Imperfektionen kritisch beurteilt.

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Numerical stability analysis of thin shells by a concept of perturbation energy

Summary A nonlinear eigenvalue analysis is presented which enables to investigate the surrounding of given states of equilibrium for critical states of equilibrium. By including all possible perturbation or imperfection patterns, that critical state is derived which is reached with a minimum of perturbation energy. Thus it is possible to analyse the imperfection sensitiveness by applying the nonlinear eigenvalue analysis. After calibration at buckling loads derived by experiments, the proposed concept may be applied for arbitrary structures. It is not necessary that the designing engineer introduces special imperfection patterns. The influence of different types of geometrical imperfections on the computational buckling load is studied. The buckling loads derived by given geometrical imperfections deviate considerably from critical loads found in experiments.

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Herrn Prof. Dr.-Ing. Walter Wunderlich zum 60. Geburtstag am 25. 7. 1991 gewidmet     

Einige Beispiele zur Stabilitätstheorie von Strömungen an konkaven und erwärmten Wänden

Zusammenfassung In dieser Arbeit wird die von H. Görtler aufgezeigte Analogie zwischen der Instabilität laminarer Strömungen an konkaven und erwärmten Wänden gegenüber longitudinalen Wirbeln untersucht. Im Rahmen einer linearisierten Störungstheorie und bei Beschränkung auf kleine Wandkrümmungen und kleine Temperaturdifferenzen erweisen sich die Stabilitätstheorie der Strömungen an konkaven Wänden und die Theorie der thermokonvektiven Stabilität als völlig analoge Fragestellungen. Konkave Krümmung bzw. Wanderwärmung wirken destabilisierend, konvexe Krümmung bzw. Wandkühlung dagegen stabilisierend; dabei kann die stabilisierende Wirkung des einen Effekts durch die destabilisierende Wirkung des anderen überboten werden.Die Analogieaussage wird unter geringen Einschränkungen in Strenge bewiesen. Ferner werden numerische Ergebnisse für den Fall der Strömung zwischen zwei koaxialen, rotierenden Zylindern, der Strömung in einem gekrümmten Kanal und der Grenzschichtströmung an einer konkaven Wand mitgeteilt. Zum Schluß wird die Strömung über eine gegen die Horizontale geneigte und erwärmte Platte untersucht. Die theoretischen Ergebnisse über die instabilste Wirbelanordnung werden mit den experimentellen Werten von T. Terada verglichen. Es ergibt sich für nicht zu dicke Flüssigkeitsschichten gute Übereinstimmung.Aus dem Institut für angewandte Mathematik der Universität Freiburg und dem Institut für angewandte Mathematik und Mechanik der DVL an der Universität Freiburg. Diese Untersuchung wurde vom Wirtschaftsministerium des Landes Baden/Württemberg gefördert.     

Überschallströmung am Austritt von Turbinenschaufel-Kränzen

Zusammenfassung Es wird die reibungsfreie Überschallströmung im Austrittsdreieck eines Beschleunigungsgitters für den Fall eines Streckenprofilgitters und eines speziellen Gitters aus gekrümmten, dicken Profilen, jedoch mit scharfer Austrittskante, mit Hilfe des Charakteristikenverfahrens ermittelt. Der Fall einer dicken Austrittskante und die eindimensionalen Näherungs-rechnungen werden kurz diskutiert.     

Beiträge zu einer nichtlinearen theorie der stabilität von schichtenströmungen längs zylindrisch gekrümmter Wände gegenüber dreidimensionalen Störungen

Zusammenfassung In dieser Arbeit wird das Verhalten dreidimensionaler Störungen einer stationären oder instationären Schichtenströmung längs einer zylindrisch gekrümmten Wand untersucht. Grundströmung und Störungen sollen von der Hauptströmungsrichtung unabhängig sein, unterliegen aber sonst keinerlei physikalisch einschränkenden Voraussetzungen; insbesondere werden Störungen beliebiger Größe zugelassen, wobei die bekannten Taylor-Görtler-Wirbel als Spezialfall in diesen Untersuchungen mit enthalten sind. Es werden Schranken angegeben, über die hinaus die Störungskomponenten niemals anwachsen können. Diese Schranken bleiben für alle Zeiten endlich, wenn die Grundströmungsgeschwindigkeit selbst endlich bleibt.Ferner wird gezeigt, daß alle betrachteten infinitesimalen oder endlichen Störungen gedämpft sind, falls die Reynoldszahl einen gewissen, wiederum von der Grundströmung abhängigen und oben angegebenen Wert nicht überschreitet.Diese Abhandlung aus dem Institut für Angewandte Mathematik der Universität Freiburg i. Br. und dem Institut für Angewandte Mathematik und Mechanik der Deutschen Versuchsanstalt für Luftfahrt, Freiburg i. Br., ist der 2. Teil meiner Dissertation: Beiträge zur hydrodynamischen Stabilitätstheorie. Freiburg i. Br., Mai 1959. Die Arbeit wurde von dem Wirtschaftsministerium des Landes Baden-Württemberg gefördert. Vorgelegt von H. Görtler     

Über zwei Probleme der elastischen Ausrichtung

Übersicht Es wird erstens ein Satz über die Steifigkeit einer elastisch ausgerichteten schwach gekrümmten Schale bewiesen und zweitens die Ausrichtung eines stark gekrümmten Stabes im Rahmen eines nichtlinearen Problems diskutiert.

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Summary Firstly one proves a theorem on the rigidity of a plate which has been obtained by planing an elastic shallow shell. Secondly, the elastic straightening of a curved beam has been discussed in the scope of the nonlinear theory.

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Herrn Professor Dr. Hans Ziegler zum 60. Geburtstag gewidmet.     

Numerical solution of the curved rigid line problem in an infinite plate

Summary This paper deals with the problem of evaluating the stress singularity coefficients at the tips of a rigid line in an infinite plate. If the traction difference between the upper and lower borders of the rigid line is taken as an unknown function and the displacement of the curved rigid line as the right-hand term of the integral equation, then a new integral equation for the curved rigid line problem is obtained which is presented in this paper. The newly obtained integral equation has a logarithmic singular kernel. To solve the integral equation an interpolation equation for the traction difference functions (the undetermined functions in the integral equation) is proposed. A numerical examination is carried out to demonstrate the efficiency of the proposed technique. Also two numerical examples are given in this paper.

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Numerische lösung des problems einer gekrümmten linie als starrer einschlu\ in einer unendlichen platte

Übersicht Vorgeführt wird die Bestimmung von Spannungssingularitätsfaktoren an den Enden einer starren Kurve in einer unendlichen Platte. Wenn die Spannungsdifferenz an beiden Seiten der starren Linie als unbekannte Funktion und die Verschiebung dieser Linie als rechte Seite der Integralgleichung gewählt werden, erhält man eine neue Integralgleichung, die hier vorgestellt wird. Diese enthält einen logarithmisch singulären Kern. Um sie zu lösen, wird eine Interpolationsfunktion für die unbekannten Funktionen der Spannungsdifferenzen vorgeschlagen und ein numerischer Test zur Demonstration der Leistungsfähigkeit der Methode durchgeführt. Zwei numerische Beispiele werden vorgestellt.

     

Analysis of the behavior of a bubble in a viscous incompressible liquid by finite element method

Summary The finite element method is used for the analysis of the behavior of a nonspherical bubble in a viscous incompressible liquid under axial conditions. The finite element approximations of the Navier Stokes equations are formulated by taking velocity and pressure as unknown variables. The flow field is discretized by triangular elements, and the bubble surface is represented by isoparametric elements with curved sides. This numerical technique is applied to the simulation of an initially spherical vapor bubble collapsing near a plane solid wall. It is made clear that a jet formed on the bubble is decelerated by the effect of liquid viscosity.

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Übersicht Mit dem Verfahren der Finiten Elemente wird das Verhalten einer nichtkugelförmigen Blase in einer zähen inkompressiblen Flüssigkeit bei rotationssymmetrischen Bedingungen untersucht. Die Navier-Stokesschen Gleichungen werden mit der Methode der Finiten Elemente näherungsweise gelöst. Das Strömungsfeld um die Blase wird in kleine dreieckige Elemente zerlegt, wobei die Oberfläche der Blase durch isoparametrische Elemente mit gekrümmten Seiten ersetzt wird. Die numerischen Rechnungen werden für den Zusammenbruch einer Blase, die anfangs kugelförmig war, in der Nähe einer ebenen festen Wand durchgeführt. Das Ergebnis zeigt, daß sich die Geschwindigkeit des in der Blase entstehenden Flüssigkeitsstrahls wegen des Einflusses der Zähigkeit vermindert.

     

Kinetisches Durchschlagen des schwach gekrümmten Stabes

Zusammenfassung In der Statik ist das Durchschlagen des gekrümmten Stabes ein wohl-bekanntes Stabilitätsproblem. Ein ganz entsprechendes kinetisches Stabilitätsproblem entsteht, wenn der gekrümmte Stab unter der Einwirkung einer schwingenden Querbelastung steht. Mit den Annahmen der technischen Biegelehre und der Kirchhoffschen Näherung für die Stablängskraft kann man zur Beschreibung der Stabschwingungen eine inhomogene nichtlineare Integrodifferential-gleichung für die Biegeschwingung allein aufstellen. Ein Lösungsansatz mit zeitabhängigen Funktionen führt diese partielle Integrodifferentialgleichung für eine beliebige Lastverteilung auf ein System nichtlinearer gewöhnlicher Differentialgleichungen zurück. Aus diesem System lassen sich die erzwungenen Schwingungen mit einer Störungsrechnung berechnen; sie haben im wesentlichen den gleichen Frequenz-Amplituden-Zusammenhang, den man schon vom. Duffingschen Schwingungsproblem her kennt. Das Stabilitätsverhalten dieser Schwingungen ließ sich mit Hilfe der Methode der langsam veränderlichen Phase und Amplitude näherungsweise ebenfalls aus den entsprechenden Eigenschaften des Duffingschen Schwingers verstehen. Es sind daher Amplitudensprünge zu erwarten, die sich in einer Weise deuten lassen, die erkennen läßt, daß sich das statische und das kinetische Problem weitgehend entsprechen.Herrn K. von Sanden zum 75. Geburtstag gewidmet     

Curved mixed beam elements for the analysis of thin-walled free-form arches

Summary The paper is concerned with the development and application of two curved beam elements for the numerical analysis of arbitrarily shaped arches. The first of these elements has been formulated according to the so-called shallow beam theory, whereas in the case of the second element deep-arch theory was employed. Both elements are based on modified versions of the mixed variational theorem due to Hellinger/ Reissner. Also, for all elements the number of degress-of-freedom equals six. In the final part of the paper, numerical results are presented in order to demonstrate the high accuracy of the solutions obtained herein and to evaluate the performance of the proposed elements in comparison with each other.

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Über gekrümmte Balkenelemente in gemischter Darstellung

Übersicht Die Arbeit beschäftigt sich mit dem Einsatz von zwei neuentwickelten gekrümmten Balkenelementen zur numerischen Berechnung des Trag- und Deformationsverhaltens beliebiger Bögen. Dem ersten dieser Elemente liegt die Marguerresche Theorie des schwach-gekrümmten Bogens zugrunde, während es sich beim zweiten Element um ein stark gekrümmtes Element handelt. Die Formulierung beider Elemente basiert auf modifizierten Funktionalen vom Typ Hellinger/Reissner. Die Anzahl der Freiheitsgrade für jedes Element beträgt sechs. Im numerischen Teil der Arbeit werden umfangreiche Resultate über durchgeführte Testrechnungen mitgeteilt. Die Genauigkeit und praktische Relevanz der hier vorgestellten Elemente wird dadurch klar herausgestellt.

     

Theory of thin-walled curved members with shear deformation

Summary The differential equations and the boundary conditions governing the behavior of structures composed of thin-walled curved members with shear deformation are derived in accordance with the virtual work principle. In the general bending theory or bending-torsion theory, the equilibrium equation of forces acting on an infinitesimal wall element in the axial direction is not sufficiently satisfied, since it is assumed that the normal stress is equal to zero. That is, the effects of the shear stress due to bending or warping are neglected.In the present paper, the method of successive approximations is used to determine a refined displacement field. Hence, the equilibrium condition for the infinitesimal wall element is satisfied at each repeated step in which the normal stress is calculated from the determined displacement in the axial direction, and the effects of shear deformation are considered. Approximate solutions which are believed to have sufficient accuracy are developed and given herein. Numerical examples are shown for several problems. Through the comparison with other author's results, the accuracy and the efficiency of this method may be verified.

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Theorie von gekrümmten dünnwandigen Stäaben unter Berücksichtigung des Schubverformungseinflusses

Übersicht Die Differentialgleichungen und Randbedingungen, die das Verhalten von Stabsystemen aus gekrümmten dünnwandigen Stäben unter Berücksichtigung des Schubverformungseinflusses beschreiben, werden durch das Prinzip der virtuellen Arbeit abgeleitet.In der gewöhnlichen Biege- oder Wölbkrafttorsionstheorie ist das Gleichgewicht der Kräfte in Längsrichtung an einem infinitesimalen dünnwandigen Element des Stabes nicht erfüllt, da die Normalspannung _gq zu Null angenommen wird; d. h., der Verformungseinfluß der Biege- und Wölbschubspannungen wird vernachlässigt.In dieser Arbeit wird die Methode der successiven Approximationen benutzt, um ein genaueres Verschiebungsfeld zu bestimmen. Daraus folgt, daß das vorstehende Gleichgewicht der Kräfte bei jedem Wiederholungsschritt erfüllt ist, in welchem die Normalspannung _gq durch das bestimmte Verschiebungsfeld in Längsrichtung gegeben wird.Für die erhaltene Näherungslösung kann man die Konvergenz zur exakten Lösung nachweisen. Einige numerische Beispiele werden gegeben. Durch den Vergleich mit Ergebnissen anderer Verfasser können die Genauigkeit und die Leistungsfähigkeit dieser Methode bestätigt werden.

     

Eine Anmerkung zur Stabilität linear-viskoelastischer rotierender Wellen

Übersicht Die Stabilität rotierender Wellen wird mit einer Störungsrechnung untersucht und die Ergebnisse für ein Voigt-Kelvin-Material und einen linear-viskoelastischen Werkstoff miteinander verglichen.Zusammenfassung Die Stabilitätsaussagen für Rotoren mit linearer innerer und äußerer Dämpfung hängen vom zugrunde gelegten Werkstoffgesetz ab. In dieser Arbeit werden für Wellen aus linear-viskoelastischem Werkstoff nach Einführung von inneren Variablen mit einer Störungsrechnung Stabilitätskriterien abgeleitet. Sie verhalten sich stabiler als Wellen aus viskos gedämpftem Material. Zwei Beispiele demonstrieren die durch das Werkstoffgesetz bedingten Unterschiede.

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A remark on the stability of linear-viscoelastic rotating shafts

Summary The stability of rotating shafts is investigated by means of a perturbation technique and the results assuming a Voigt-Kelvin-material and a linear-viscoelastic material compared.

     

Zur Berechnunǵ ǵroßer Verformunǵen von ǵekrümmten Stäben

Übersicht Es wird ein Verfahren zur Berechnung beliebig großer Verformungen von ebenen, schwach gekrümmten, dünnen Stäben vorgestellt. Die Gültigkeit der Ersten Love'schen Näherung für die Verzerrungsenergie wird vorausgesetzt. Kennzeichnend für das Verfahren ist die exakte Berechnung von Restschnittgrößen als Differenz von Schnittgrößen, die sich einerseits aus den Gleichgewichtsbedingungen und andererseits aus den Stabverzerrungen ergeben. Das Berechnungsverfahren wird am Beispiel eines Kragträgers, der am freien Ende mit einem Einzelmoment bzw. mit einer Einzellast belastet ist, getestet.

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Summary A method is presented to calculate unlimited large deformations of plane, initially curved, slender beams. It is assumed that Love's first approximation for the strain energy is valid. Main aspect of the method is the derivation of residual internal forces and moments based on exact strain-displacement relations and equilibrium equations. The method has been used to calculate the deformations of a straight cantilever beam under end moment and end force.

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Über diese Arbeit wurde im Rahmen des 16th Annual Meeting of the Society of Engineering Science, Inc., Northwestern University, Evanston, Illinois, USA, 5.–7. September 1979, berichtet     

Zur Bestimmung der Verwölbungen und Profilverformungen von elastischen Stäben mit beliebigen und dünnwandigen Querschnitten

Übersicht Eine bereits vorgestellte Theorie, die eine schrittweise Bestimmung der Verwölbungen und Profilverformungen von Stäben mit beliebiger Querschnittsform ermöglicht, wird zusammengefaßt und hinsichtlich des Problems gekoppelter Biegung und Torsion erweitert. Dabei wird auf einer allgemeinen Approximationsstufe die Lage des Schub und Drillruhepunkts für das zugehörige Verwölbungsproblem angegeben und die Einführung von Hilfskräften zur Erzeugung von Gleichgewichtszuständen für das zugehörige Profilverformungsproblem erörtert. Die Theorie wird anschließend auf Stäbe mit dünnwandigen Querschnitten spezialisiert, Beispiele aus der Ingenieurpraxis sollen die Anwendbarkeit des Verfahrens zeigen.

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On the determination of cross-sectional warpings and distortions of bars with arbitrary and thin-walled cross-sections

Summary An already presented theory which allows for a stepwise determination of cross-sectional warpings and distortions of bars with arbitrary cross-sections is summarized and extended with respect to the problem of coupled bending and torsion. On a general approximation level the locations of the shear centers due to bending and torsion are given for the corresponding warping problem and the introduction of auxiliary forces in order to get equilibrated states of stress is discussed for the corresponding distortional problem. The theory is then specialized to bars with thin-walled cross-sections. Examples from the engineering practice shall demonstrate the applicability of the method.

     

Stabilitätsaussagen über Turborotoren mit Hilfe von Energieausdrücken

Übersicht Ausgehend vom Prinzip der virtuellen Arbeiten wird mit Hilfe einer Störungsrechnung die Stabilität eines Turborotors untersucht. Die Stabilitätsbedingungen haben die Form von Energieausdrücken, die sich im allgemeinen jedoch nicht einfach als Energieflüsse deuten lassen.

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Summary Starting from the principle of virtual work the stability of a turborotor is investigated by means of a perturbation technique. The stability conditions have the form of energy expressions which, in general, cannot be interpreted as energy flows.

     

Large elastic deformations in thin rods

Summary In this paper an appropriate analytical treatment for the determination, through exact formulae, of large elastic deformations in thin skew-curved rods is presented. This problem is associated with a system of fifteen nonlinear, ordinary, differential equations of the first order; the unknowns of the system are the final curvature and torsion functions, as well as the generalized internal forces and displacements of the rod. Subsequently, the problem of a thin cantilever circular rod subjected to terminal co-planar forces is examined and closed formulae determining its generalized displacements are obtained. Finally, the effectiveness and the potentialities of the method are demonstrated by several numerical applications.

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Übersicht In diesem Artikel wird eine analytische Methode zur Bestimmung von großen elastischen Verformungen eines schief gekrümmten Stabes durch exakte Formeln entwickelt. Dieses Problem wird durch ein System von fünfzehn nichtlinearen, gewöhnlichen Differentialgleichungen erster Ordnung beschrieben; die Unbekannten des Systems sind sowohl die endlichen Krümmungs- und Torsionsfunktionen als auch die verallgemeinerten inneren Kräfte und Verschiebungen des Stabes. Ferner wird das Problem des dünnen beidseitig gelagerten zylindrischen Stabes, welcher koplanaren Endlasten unterliegt, untersucht, und geschlossene Formeln werden erhalten. Schließlich werden die Effektivität und die Möglichkeiten der Methode durch mehrere numerische Anwendungen dargestellt.

     

Das sphärische hydrostatische Lager mit zentraler Drucktasche unter schräger Last

Übersicht Es wird untersucht, innerhalb welcher Grenzen das sphärische hydrostatische Lager mit einzelner zentraler Tasche schräg zur Achse wirkende Lasten aufnehmen kann. Ausgehend von der Reynoldsschen Gleichung, werden zunächst an einem schwach gekrümmten Lager Lösungsansätze nach der Methode der Störungsrechnung und nach einem Fourier-Ansatz hinsichtlich ihres Konvergenzverhaltens miteinander verglichen, wobei sich der Fourier-Ansatz deutlich als geeigneter erweist. Es wird dann der Rechnungsgang für Lager beliebiger Geometrie bis zur zweiten Fourier-Ordnung entwickelt und als Ergebnis axiale und radiale Tragfähigkeitszahlen berechnet. Damit sind Unterlagen für den Entwurf konstruktiv einfacher hydrostatischer Schräglager gegeben, die vor anderen Bauformen mit einer Vielzahl von Drucktaschen oder Stützquellen den Vorzug wesentlich geringeren technischen Aufwands und Energieumsatzes haben. Dafür muß allerdings in Kauf genommen werden, daß der zulässigen radialen Belastbarkeit engere Grenzen gesetzt sind. Auch ist die radiale Steifigkeit unter Umständen etwas unterlegen. An Hand von Meßergebnissen an einem ausgeführten Lager wird gezeigt, wie eng die Leistungsfähigkeit des Lagers mit der Formgüte der Lagerflächen verflochten ist. Der dargestellte Lösungsweg erfordert nicht den Einsatz größerer Rechenanlagen, sondern kommt mit programmierbaren Kleingeräten aus.

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The spherical hydrostatic bearing with single central recess under oblique loads

Summary It is investigated within which limits the spherical hydrostatic bearing with single central recess is able to support oblique loads. First, applying the Reynolds equation to a bearing of only slight sphericity, a preliminary comparison of convergence behavior is made between a perturbation solution and a Fourier solution, showing the latter distinctly to be more suitable. A second-order Fourier solution is then derived for bearings of any geometry. Results are presented for the axial and radial load component coefficients to serve as a basis for the design of structurally simple combined bearings. Compared with other designs of the multi-recess or multi-pad type, the bearing analyzed here has the advantage of reducing technical expenditure as well as energy dissipation. But it must be accepted that its load-carrying capacity becomes more narrowly limited. Also the radial stiffness tends to decrease. Measurements taken on a fabricated bearing confirm how closely bearing performance is related to bearing precision. The analysis presented is not based on using larger digital computers but can be evaluated with small-capacity calculators.

     

Introduction of small velocity and pressure variation into a stationary compressible fluid

Summary This work formulates the aerodynamic time-dependent Coulomb and Biot-Savart laws with inherent transmission retardation. It generalizes the theory by Baskin et al. (for only the isentropic propagation of small vortex disturbances) to deal with the propagation of small disturbances caused by a distributed system of both vortices and variation in specific entropy of a thermodynamically simple compressible fluid. The proof here uses an alternative, more appealing derivation with the help of a novel wave-cone transformation (which changes Kirchhoff's retarded potentials into Newtonian potentials). The results suggest the possibility of using a focused laser spot to simulate the effect of a source in a compressible fluid; the source may even move at a supersonic speed to create a shock wave. They also suggest a time-dependent, three-dimensional formula for lifts caused by small disturbances that is in agreement with Blasius' formula for two-dimensional, time-independent, inviscid flows.

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Störung einer stationären, kompressiblen Flüssigkeit durch kleine Geschwindigkeits- und Druckänderungen

Übersicht Formuliert werden die zeitabhängigen, aerodynamischen Gesetze von Coulomb und Biot-Savart mit inhärenter Übertragungsverzögerung. Damit wird die Theorie von Baskin u. a. für isentrope Fortpflanzung kleiner Wirbelstörungen verallgemeinert auf die Fortpflanzung kleiner Störungen, die durch eine Verteilung von Wirbeln und von Änderungen der spezifischen Entropie einer thermodynamisch einfachen, kompressiblen Flüssigkeit verursacht werden. Mit Hilfe einer neuartigen Wellenkegel-Transformation, welche die Kirchhoff-Potentiale mit Verzögerung in Newtonsche Potentiale über führt, wird der Beweis hier in einer alternativen Form hergeleitet. Die Ergebnisse zeigen die Möglichkeit, durch einen fokusierten Laserfleck den Effekt einer Quelle in der kompressiblen Flüssigkeit zu simulieren, wobei die Quelle zur Erzeugung einer Schockwelle sogar mit Überschallgeschwindigkeit wandern kann. Aufgrund der Resultate wird eine zeitabhängige, dreidimensionale Formel für den Auftrieb infolge kleiner Störungen vorgeschlagen, die mit Blasius' Formel für zweidimensionale, zeitunabhängige zähigkeitslose Strömungen in Einklang steht.

     

Schalenelemente in gemischer Darstellung: Theorie — Kritik — Beispiele

Übersicht Zur Berechnung dünnwandiger Schalen wird ein Satz von gekrümmten Elementen mit Ansatzfreiwerten in gemischter Weg- und Kraftgrößendarstellung entwickelt und deren Brauchbarkeit an Hand einiger Beispiele überprüft. Die theoretischen und numerischen Untersuchungen zeigen, daß die Genauigkeit gemischter Elemente in erster Linie von der Auswahl geeigneter Integrationsvariabler abhängt, während die Ordnung der Polynomansätze die Approximationsgüte nur geringfügig beeinflußt.

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Summary To analyse thin shell structures curved mixed elements are developed and studied from a theorctical vantage point and through the medium of numerical exampels. The investigations show, that the accuracy of mixed shell elements is dependent first of all on the choice of integration variables, while the influence of the order of polynoms is less.

     

Übertragungsmatrizen bei Schwingungen dünnwandiger Stäbe mit offenen Profilen bei Kopplung von Biegung und Drillung

Zusammenfassung Das Verfahren der Übertragungsmatrizen wird auf die Berechnung der erzwungenen, gekoppelten Biege- und Drillschwingungen von Stäben mit dünnwandigen, schwach stetig veränderlichen Querschnitten angewandt. Hierbei ist es nicht notwendig, die Übertragungsmatrizen explizit zu berechnen, vielmehr dient der Begriff der Übertragungsmatrix nur zur formelmäßigen Darstellung des Rechnungsganges (Gl. (14)). Die Zahlenrechnung selbst erfolgt durch zyklische Anwendung des Goussschen Algorithmus und eines Matrixproduktes. Abweichend von der sonst üblichen Betrachtungsweise wird nicht ein mechanisches Modell mit stückweise konstanten Querschnitten zugrundegelegt, sondern es wird der wirkliche Stab mit einer mathematischen Ersatzlösung behandelt, wobei die bekannten Lösungen des Problems für prismatische Stäbe als Näherungslösungen dienen. Dieses Verfahren hat gegenüber einer Behandlung als abgesetzter Stab den Vorteil, daß auch die Spannungen, die nach Gl. (16) und (18) direkt aus den Verschiebungsableitungen und den Querschnittskoordinaten berechnet werden, an den Intervallgrenzen stetig sind. Inwieweit zusätzliche Einflüsse, die hier nicht berücksichtigt werden konnten, bei stark verjüngten Stäben eine Rolle spielen, muß noch festgestellt werden. Über im Zusammenhang hiermit geplante experimentelle Untersuchungen soll später berichtet werden.Aus dem Institut für Mechanik (Prof. Dr.-Ing. K.-A. Reckling) der TU Berlin.