Local properties of variational solutions for the two-obstacle problem involving square Hörmander operators

We consider the double obstacle problem involving square Hörmander operators. We prove a Wiener estimate giving a generalization of results obtained both for degenerate elliptic operators and for uniformly elliptic operators with bounded and measurable coefficients.

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Sunto Si considéra il problema del doppio ostacolo per un operatore definite come somma di quadrati di campi vettoriali. Si dimostra una stima di Potenziale del tipo di Wiener, generalizzando risultati già noti per il problema ad un solo ostacolo relativo ad operatori ellittici degeneri, nonchè per il doppio ostacolo per operatori uniformemente ellittici con coefficienti limitati e misurabili.

     

Wiener criterion and potential estimates for obstacle problems relative to degenerate elliptic operators

Summary We give a Wiener's type criterion for the continuity of the local solutions of obstacle problems relative to a degenerate elliptic operator. Moreover, we give an estimate on the modulus of continuity of the solutions and we also estimate the «energy decay» at a point.

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Sunto Si dà un criterio di Wiener per la continuità in un punto delle soluzioni locali di problemi d'ostacolo relativi ad un operatore ellittico degenere. Si ottiene inoltre una stima del modulo di continuità della soluzione e del «decay» dell'«energia» in un punto.

     

Conjugating the Poincaré-map to a rotation

We give a method to express explicitly the conjugating function of a given diffeomorphism of the circle. Moreover an estimate of the Fourier coefficients is also provided. Some different numerical tests are accomplished.

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Sunto Si dà un metodo per la determination esplicita della funzione coniugio topologico di un dato diffeomorfismo del cerchio. Inoltre forniamo una stima riguardante i suoi coefficienti di Fourier. In conclusione sono presentati alcuni test numerici di diversa natura.

     

Regularity results for the porous media equation

Sunto In questo lavoro si considera il problema di Cauchy per l'equazione di filtrazione ∂u/∂t=∂ ² ϕ(u)/∂x ² nella regioneR×(0,T],0<T<∞. Sotto opportune ipotesi sulla funzione ϕ(u) si determina una stima dell'incremento temporale della soluzione u(x, t) (intesa nel senso debole). Nel caso politropico (ϕ(u)=u^m), quando m>2 si trova in particolare un comportamento h?lderiano di u(x, t) rispetto a t con l'esponente1/(m−1); viene anche dimostrato che questo esponete è effettivamente assunto da una particolare soluzione, per cui la stima ottenuta è la migliore possibile.

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Entrata in Redazione il 18 luglio 1978.     

Some properties of nonnegative solutions of parabolic differential operators

Sunto In questo lavoro vengono prese in considerazione soluzioni deboli non-negative di equazioni paraboliche lineari del secondo ordine in forma di divergenza in un dominio cilindrico diR ⁿ×R. Per tali soluzioni si stabilisce un principio di tipo Harnach che si estende sino alla frontiera del dominio. Si prova poi che tale principio è équivalente ad una stima uniforme per la misura calorica associata ad ogni operatore del tipo suddetto. Per soluzioni continue nella chiusura del dominio è poi provata una versione più forte del prineipio di cut sopra.

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Lavoro eseguito nell'ambito del G.N.A.F.A.     

Some remarks on the de Franchis theorem

Summary LetX be a smooth projective curve defined onC. The number of holomorphic maps from a fixedX to another curve, (both of genus bigger than or equal to two), is finite by the classical de Franchis theorem. In this paper we get an explicit bound for this number, depending on the genus ofX only. Our bound is better than all the previously given ones (by Howard-Sommese and Kani).

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Sommario SiaX una curva liscia proiettiva definita suC. Il numero delle applicazioni olomorfe esistenti tra unaX fissata ed un'altra curva, (entrambe di genere maggiore od uguale a due), è finito in base al classico teorema di de Franchis. In questo lavoro noi otteniamo, per tale numero, un limite superiore esplicito, dipendente solo dal genere diX. La nostra stima è migliore di tutte quelle date precedentemente (da Howard-Sommese e da Kani).

     

An estimate on convergence of approximation by iterations of a solution to a quasi-variational inequality and some consequences on continuous dependence andG-convergence

Summary Si dà una stima per l'approssimazione mediante iterazione della soluzione di una disequazione quasi-variazionale e se ne deducono risultati circa la dipendenza continua della soluzione dall'ostacolo e dal termine noto e circa la G-convergenza.

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Entrata in Redazione il 29 marzo 1978.     

A nonlinear hyperbolic problem arising from a question of nonlinear optics,part I

Summary Analytical and numerical results are given for the problem of Graffi, recently proposed by D. Graffi in order to give a rigorous mathematical theory of the experiments carried out by Franken, Ward and coworkers (1961) in Nonlinear Optics, following the theoretical scheme developed by L. Cesari in some recent papers concerning boundary value problems for quasilinear hyperbolic systems in the Schauder canonic forms.Numerical results refer to the estimate by defect of the maximal slab widtha of the nonlinear medium (a quartz crystal slab), under which the relevant existence and uniqueness theorem holds, in a suitable functional class which is chosen following Cesari's works and is well-suited for applications to Mathematical Physics.

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Riassunto Si presentano risultati analitici e numerici relativi al problema di Graffi, recentemente proposto da D. Graffi per una teoria matematica degli esperimenti di Franken, Ward et al. (1961) in Ottica Non Lineare, seguendo lo schema teorico elaborato da L. Cesari in alcuni recentissimi lavori su certi problemi ai limiti per sistemi iperbolici quasi lineari nella forma canonica di Schauder.I risultati numerici si riferiscono alla stima per difetto del massimo spessore del mezzo non lineare (lamina di cristallo di quarzo) per cui restano validi teoremi di esistenza, unicità e dipendenza continua dall'onda (laser) incidente, in una opportuna classe funzionale, scelta seguendo i lavori citati di Cesari.

     

Strong solutions of the Navier-Stokes equations in aperture domains

We consider the nonstationary Navier-Stokes equations in an aperture domain Ω⊂R³ consisting of two halfspaces separated by a wall, but connected by a hole in this wall. In this special domain one has to impose an auxiliary condition to single out a unique solution. This can be done by prescribing either the flux through the hole or the pressure drop between the two halfspaces. We construct suitable Stokes operators for both of the auxiliary conditions and show that they generate holomorphic semigroups. Then we prove the existence and uniqueness of solutions as well as a maximal regularity estimate for the Stokes equations subject to one of the auxiliary conditions. For the corresponding Navier-Stokes equations we prove existence and uniqueness of local in time solutions.

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Sunto In questo lavoro consideriamo le equazioni di Navier-Stokes non stazionarie in un dominio con un’apertura, che consiste di due semispazi separati da una parete, ma collegati da un’apertura in quest’ultima. In questo dominio particolare è necessario imporre, per avere un’unica soluzione, una opportuna condizione ausiliaria. Questo può essere fatto sia assegnando il flusso attraverso l’apertura sia prescrivendo il salto di pressione tra i due semispazi. Qui costruiamo degli operatori di Stokes opportuni per ambedue i tipi di condizioni ausiliarie e mostriamo come essi generino semigruppi olomorfi. Dimostriamo, quindi, esistenza e unicità di soluzioni, assieme ad una stima di massima regolarità per le equazioni di Stokes soggette ad una delle condizioni ausiliarie. Per le corrispondenti equazioni di Navier-Stokes, dimostriamo esistenza e unicità di soluzioni locali nel tempo.

     

Implementazione di tests probabilistici di primalità

Sunto In questo lavoro si considerano due tests probabilistici di primalità per interi disparim di forma qualsiasi. Gli algoritmi sono tali che sem è dichiarato composto allora lo è certamente, mentre sem è dichiarato primo il risultato ha un certo margine di errore, che può essere reso arbitrariamente piccolo. Un programma scritto e compilato in linguaggio FORTRAN, applicabile ad interi fino a 10²⁰⁰⁰ ed adatto anche a personal computer, permette un confronto dei due tests sulla base del tipo dei risultati e del tempo di elaborazione, fornendo diverse opzioni ed una stima del limite superiore per l’eventuale errore in una dichiarazione di probabile primalità.

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Summary In this paper we consider two probabilistic tests for determining the primality of any odd integerm. Both algorithms have the property that ifm is declared to be composite than it is guaranteed to be so. On the other hand, ifm is declared to be prime than it is sure to be prime only within a certain margin of error which can be made arbitrarily small. A program, written and compiled in the computer language FORTRAN enable this tests to be applied to integers up to 10²⁰⁰⁰, allowing a comparison between the two tests with respect to their running time and with an esplicit bound for the maximum possible error whenm is declared prime. The program is sufficiently compact to be implemented on a personal computer such as an IBM PS/2 with an arithmetic co-processor

     

Scales of ε-uniform a priori estimates for nonstationary convection-dominated diffusion problems

Convection-diffusion problems of practical interest are often convection-dominated in the sense that the diffusion parameter ε satisfies 0<ε≪1. Standard error estimates for numerical approximations of such problems mostly contain constants which depend either reciprocally on ε or at least on higher order norms of the solution. These norms possibly increase to infinity in the hyperbolic limit ε→0. For the Lagrange-Galerkin scheme such error estimates have been proven by Douglas and Russell, Pironneau or Süli. In the particular case of the Navier-Stokes equations Johnson, Rannacher and Boman have observed that some of those constants which arise in existing analyses depend exponentially on the Reynolds number. Consequently, standard error analyses have no real meaning in the case of convection-dominance. Recently, Bause and Knabner have developed a rigorous ε-uniform convergence theory for finite element and Lagrange-Galerkin approximations of convection-dominated diffusion problems. The error analysis is heavily based on ε-uniform a priori estimates for the solution of the continuous problems. In their work such ε-uniform estimates are established in the Sobolev spacesL ²(Ω) andH ²(Ω) in a Lagrangian framework by transforming the convection-diffusion problem into subcharacteristic coordinates. To obtain the ε-uniformH ²-bound, strong conditions about the right-hand side which cannot realistically be assumed in practice are supposed. In this paper we demonstrate how the method of complex interpolation of Banach spaces can be employed to derive elegantly ε-uniform a priori estimates in intermediate Sobolev spaces of fractional order. We will observe that in particularH ^α-regularity of the data has to be supposed to get an ε-uniformH ^α-bound for the solution. To derive the desired estimates we use several complex interpolation results which we provide first.

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Sunto I problemi di convezione-diffusione di interesse applicativo sono spesso convezione-dominati, nel senso che il parametro di diffusione ε soddisfa 0<ε≪1. Le stime standard dell’errore nelle approssimazioni numeriche di tali problemi generalmente contengono costanti che dipendono o reciprocamente da ε o almeno da norme più elevate della soluzione. Queste norme possono tendere all’infinito nel limite iperbolico ε→0. Queste stime sono state determinate, per lo schema di Lagrange-Galerkin, da Douglas e Russell, Pironneau o Süli. Nel caso particolare delle equazioni di Navier-Stokes, Johnson, Rannacher e Boman hanno osservato che alcune di queste costanti dipendono esponenzialmente dal numero di Reynolds. Di conseguenza, l’analisi standard dell’errore non è significativa nel caso di dominanza della convezione. Recentemente, Bause e Knabner hanno sviluppato una teoria rigorosa della ε-convergenza per le approssimazioni agli elementi una teoria rigorosa della ε-convergenza per le approssimazioni agli elementi finite e per quelle di Lagrange-Galerkin relativamente a problemi di diffusione convezione-dominati. l’analisi dell’errore è pesantemente basata su stime a priori ε-uniformi per la soluzione dei problemi continui. In quel lavoro, tali stime sono stabilite negli spazi di SobolevL ²(Ω) eH ²(Ω) in rappresentazione Lagrangiana trasformando il problema di convezione-diffusione in coordinate sub-caratteristiche. Per ottenere la stima ε-uniforme inH ²(Ω), si fanno delle ipotesi stringenti sul secondo membro le quali possono non essere realisticamente assunte nella pratica. In questo lavoro mostriamo come il metodo dell’interpolazione complessa degli spazi di Banach possa essere usato per ottenere eleganti stime a priori ε-uniformi in spazi di Sobolev ad esponente frazionario. In particolare, osserveremo che per ottenere una stima ε-uniforme inH ^α per la soluzione occorre assumereH ^α regolarità sui dati. Per derivare le stime desiderate facciamo uso di diversi risultati di interpolazione complessa che vengono forniti.

     

An existence theorem for compressible viscous fluids

Sunto Si dimostra un teorema di esistenza (locale nel tempo) per il sistema di equazioni che descrive il moto di un fluido viscoso comprimibile.     

Existence results for some free boundary filtration problems

Summary A suitable extension of the pressure junction allows to formulate quite general free boundary filtration problems in terms of a non-standard variational inequality, both for the stationary and the evolution situations. Existence results are proved.

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Sunto Un opportuno prolungamento della funzione pressione permette di formulare problemi di filtrazione a frontiera libera alquanto generali in termini di una disequazione variazionale di tipo non standard. Si dimostrano risultati di esistenza, sia per il caso stazionario che per quello di evoluzione.

     

Uniformizzazione proiettiva e algebre di Lie gradate su superfici di Riemann

Sunto Mostriamo come il concetto di algebra di Lie gradata sia naturale in teoria delle superfici di Riemann. In particolare la uniformizzazione proiettiva di una superficie di Riemann S è dettata da un fascio di algebre di Lie gradateA. su S. Inoltre lo spazio cohomologico H¹ (S,A) contiene tutti gli elementi necessari per definire la struttura di super superficie di Riemann su S e per studiarne lo spazio dei moduli.

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Summary I show that any Riemann surfaces S is endowed with a natural sheaf of graded Lie algebrasA which is related to the protective uniformization of S. Moreover the cohomology set H¹(S,A), which turns out to be direct sum of two Eichler cohomology groups, contains all the ingredient to define a super Riemann structure on S and to investigate its space of moduli.

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L'autore è riconoscente alla Professoressa M. A.Sneider per il suo costante incoraggiamento. Molti ringraziamenti vanno al Prof. W. Harvey per l'aiuto prestato all'autore. Il Consiglio Nazionale delle Ricerche è ringraziato per il supporto finanziario.     

Compact families of<Emphasis Type="Italic">BMO</Emphasis>-quasiconformal mappings I

Families of quasiconformal homeomorphisms of bounded mean oscillation (BMO-qc) are studied from the point of view of compacity (normality + closedness). Using Tukia's convergence theorems and David's existence and factorization theorem, a normality criterion for families ofBMO-qc homeomorphisms and a compacity criterion for families transforming a given compact subsetM ₁ in a compact subsetM ₂ are established.

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Sunto Le famiglie di applicazioni quasiconforme di media oscillazione limitata (BMO-qc) vengono studiate dal punto di vista della compacità (normalità + chiusura). Utilisando i teoremi di convergenza di Tukia ed il teorema di esistenza e fattorisazione di David, si stabiliscono un criterio di normalità per famiglie di omeomorfismiBMO-qc ed un criterio di compacità per famiglie che transformano un certo sottoinsieme compattoM ₁ in uno sottoinsiemeM ₂.

     

Hilbert polynomials and powers of an ideal

Sunto Nel n1. viene definito il complesso generalizzato di Koszul K(A; E; t) di R-moduli associato ad una matrice A sopra un anello R e un R-modulo E. Si studia poi K(A; E; t) nel caso particolare in cui A sia una matrice della forma B(m, s) data nel n.3. Si dimostra infine che, sotto certe condizioni di finitezza, la lunghezza di ogni modulo d'omologia à una funzione polinomiale in m per m grande, e che per ogni m ≥1 la caratteristica di Euler-Poincaré è il prodotto di un coefficiente binomiale per la caratteristica del complesso di Koszul K(B(1, s); E;0).

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Entrata in Redazione il 18 novemb e 1972.     

Rearrangements and images of measures

We tie the notion of rearrangement with that of image of a measure; for not necessary bounded measures, we give necessary and sufficient conditions for the existence of increasing and decreasing rearrangements, of spherical rearrangements and of rearrangements according to a real functionf.

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Sunto Si lega la nozione di riordinamento con quella di immagine di una misura; per misure non necessariamente limitate, si danno condizioni necessarie e sufficienti per l’esistenza di riordinamenti crescenti e decrescenti, di riordinamenti sferici e di riordinamenti secondo una funzione realef.

     

Semifattorialità e aperti affini

Riassunto Scopo di questa nota è quello di caratterizzare gli aperti affini di una varietà normale mediante la nozione di semifattorialità. Il risultato principale è il seguente: un anelloA di ?tipo geometrico? è localmente semifattoriale (risp. semifattoriale) se e soltanto se gli aperti affini di Spec (A) sono tutti e soli i complementari dei supporti dei divisori di Cartier (risp. de divisori principali). Analoghi risultati valgono per le varietà proiettive.

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Summary The purpose of this note is to characterize the open affine subsets of a normal variety by means of almost-factoriality. The main result is the following: a ?geometric ring?A is locally almost-factorial (resp. almost-factorial) if and only if the open affine subsets of Spec (A) coincide with the complements of the supports of Cartier divisors (resp. of principal divisors). Analogous results hold for a projective variety.

     

The etale sheaf cohomology of a class of singular surfaces

Summary In this paper the techniques of étale sheaf cohomology are used to estimate trigonometric sums on certain singular algebraic surfaces. This involves the computation of Betti numbers, made complicated by the presence of singularities. This leads to the introduction of some new (non-singular) surfaces. Their Betti numbers are then computed and related to the original problem which is thereby solved.

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Riassunto In questo lavoro si utilizza la coomologia étale per valutare le somme trigonometriche per certe superfici algebriche singolari. Per il calcolo dei numeri di Betti necessari, reso difficile per la presenza delle singolarità, si utilizzano delle superfici ausiliari lisce i cui numeri di Betti consentono di risolvere il problema iniziale.

     

Remarks on subharmonic functions on riemannian manifolds

Sunto Si prova un teorema di limitatezza per funzioni subarmoniche su una varietà riemanniana completa M e soddisfacenti la condisione (A) (cfr. anche [8])e se ne danno alcune applicazioni allo studio del volume di M, dello spazio delle forme armoniche a coefficienti in fibrati vettoriali su M, di cette mappe armoniche definite su M.