一道竞赛题的“深度解析”与推广

1996年香港国际数学奥林匹克试题“已知α,β∈（0,π/2）,且sin^4α/cos^2β＋cos^4α/sin^2β=1,求证：α＋β=π/2”是一道既有综合性又有创新性的好题,如果仔细对此题的解法作深入的研究,将会有许多意外的收获．     

一道竞赛题的简证与推广

题目（2010年瑞士数学奥林匹克试题）已知x,y,z〉0,xyz=1,     

一道国际数学竞赛题的推广

我们首先来看2003年第16届爱尔兰数学奥林匹克试题9(见文[1])：     

我证这道竞赛题

2007年女子数学奥林匹克竞赛试题中有以下一道不等式赛题：题目已知a,b,c≥0,且a＋b＋c=1,求证：     

两道试题的推广

最近在研究2009年江西省数学高考理科解析几何试题时,发现此道试题与2005年天津市数学竞赛试题有着密切的联系,现将研究结果整理出来,与大家共享．     

一道叙利亚数学竞赛题的推广

2016年叙利牙数学奥林匹克试题中,有如下一道优美的条件不等式.     

用Jensen不等式证明两道数学竞赛题

来看两道竞赛题．第一道：设a,b,c〉0,试证。a^ab^c^c≥（abc）a＋b＋c/3．（第三届美国数学奥林匹克试题）     

一道竞赛题推广的简证

题　 (第 2 6届独联体数学奥林匹克竞赛试题 )证明 :对任意实数ａ >1,ｂ >1,有不等式 ａ2ｂ - 1 ｂ2ａ - 1≥ 8.文 [1]将其推广为 :设ａｉ>0 (ｉ=1,2 ,… ,ｎ) ,则(ａ1 1) 2ａ2 (ａ2 1) 2ａ3 … (ａｎ - 1 1) 2ａｎ (ａｎ 1) 2ａ1≥ 4ｎ (1)文 [2 ]将 (1)式进一步推广为 :设ａｉ(ｉ=1,2 ,… ,ｎ)∈Ｒ ,ｍ≥ 2 ,ｍ∈Ｎ ,则(ａ1 1) ｍａ2 (ａ2 1) ｍａ3 … (ａｎ - 1 1) ｍａｎ (ａｎ 1) ｍａ1≥ｎ·ｍｍ· 1(ｍ - 1) ｍ - 1(2 )李超同学在文 [2 ]中采用待定系数法证明了 (2 )式 .经探究发现 ,采用拆项法可以简洁地证明 (2 )…     

两道国际数学竞赛题的推广

第 4 2届 (2 0 0 1年 )国际数学奥林匹克试题第 2题为 :对所有正实数a ,b ,c,证明aa2 + 8bc+ bb2 + 8ca+ cc2 + 8ab≥ 1.文 [1]将其推广为 :设x1>0 ,x2 >0 ,x3 >0 ,3 x1x2 x3 ≥ 8,则　　　　 11+x1+ 11+x2+ 11+x3　　　≥ 31+ 3 x1x2 x3.文 [1]还指出 ,上式可以推广为n个正数的情况 ,条件是 n x1x2 …xn ≥n2 - 1,第 4 0届 (1991年 )国际数学奥林匹克的一个备选题为 :设r1,r2 ,… ,rn为大于或等于 1的实数 ,证明1r1+ 1+ 1r2 + 1+… + 1rn+ 1≥ nnr1r2 …rn+ 1.这两道题有类似之处 ,其分母一个为 12 次幂 ,一个为 1次幂 .本文进一步考虑分母…     

一道女子竞赛题的简证及其推广

2009年女子数学奥林匹克第5题如下：设实数x,y,z大于或等于1,求证：     

几道竞赛题的简解

2009年印度数学奥林匹克有这样一题：设a,b,c为正实数且满足a^3＋b^3=c^3,求证：     

一道竞赛题的思路分析

2008年中国西部数学奥林匹克试题： 已知x,y,z∈（0,1）且√1-x/yz＋√1-y/zx＋√1-z/xy=2,求xyz的最大值。本题的得分率很低,有一定的难度,以下是笔者在解该题时的思路,整理出来供参考．     

一道竞赛题的解题思路分析

题目（2007年全国高中数学联赛试题）设函数f（x）对所有的实数x都满足f（x＋2π）=f（x）,求证：存在4个函数fi（x）（i=1,2,3,4）满足：     

一道巴尔干数学奥林匹克竞赛题的再推广

2005年巴尔干数学奥林匹克试题的第3题是： 设a，b，C是正数，求证： α^2/b＋b^2/c＋c^2/α≥α＋b＋c＋4（α-b）^2/α＋b＋c （1） 文[1]从变量的个数方面给出了一个推广：     

一道竞赛题的多种解法

<正>例(2014年北京市中学生数学竞赛初二级试题)在四边形ABCD中,BC=8,CD=12AD=10,∠A=∠B=60°,AB=.图1解法1如图1,延长AD、BC相交于点E,则∠E=60°.设AB=x,则DE=x-10,CE=x-8.过点C作CF⊥AE于点F.在Rt△CFE中,∠E=60°,所以∠ECF=30°.于是FE=CE2=x-82.在Rt△CFE中,CF2=CE2-FE2,     

一道竞赛题及其推广形式的另解

针对第67届（2006年）美国大学生数学竞赛题中的一道求最大值的问题及其推广形式,从泛函的视角,给出另一种解法．     

一道美国大学生数学竞赛题的推广

利用积分形式的侯尔德不等式对美国2006年大学生数学竞赛的一道试题作出推广.     

探究一道伊朗数学竞赛题

第20届伊朗数学奥林匹克中有这样一道吸引大家眼球的代数不等式竞赛试题：     

一道竞赛题的加强与推广

2004年亚太地区数学奥林匹克竞赛中有如下一道试题，即 命题对任意正实数a，b，c均有 （a^2＋2）（b^2＋2）（C^2＋2）≥9（ab＋bc＋ca）． 本文对上述命题作一点加强与推广如下．