关于临界h棱连通图的最大棱数及最大图的结构(Ⅱ)——临界h棱连通图的性质和最大临界3棱连通图类的刻划

设λ(G)表示G的棱连通度,图G称为临界h棱连通的,如果λ(G)=h而且对任何x∈V(G),λ(G-x)≤h-1,具有最大棱数的临界h棱连通图称为最大临界h棱连通图.本文首先证明对h≥3的临界h棱连通图的若干性质,然后证明最大临界3棱连通图的每个顶点都与3度点相邻,并由此给出了此类图的结构刻划和最大棱数.     

阶较小时具有最大棱数的极小k棱连通图

设 G 是极小 k 棱连通图,|G|=n.Mader 已证明,当 k≥2,n≥3k 时,e(G)≤k(n-k),且 e(G)=k(n-k)的充要条件为 G=K~(k,(n-k)).当 k≥2,k+2≤n<3k时,我们得到 e(G)≤(n+k)~2/8,并给出 e(G)=(n+k)~2/8时图的结构.就其作用来说,本文所获得的结果与蔡茂诚关于极小 k 连通图的结果相似.     

极小2—棱—连通图的周长

图中最长的初等回(elementary cycle)的长度,称为图的周长,关于图的周长的问题,是图论中较困难的问题之一。在本文中,我们利用[2]中所得到的关于极小2—棱—连通图的一些性质,给出了依赖于图的阶和棱数的上界和下界,在一定的意义下,本文所获得的结果是最好的。     

连通图顶点集的一种划分

1.引言设G=(X,E)为有限阶的简单图,X与E分别为G的顶点集与棱集。在下文中,我们总假定G是连通的。以d(x,y)表示G的两个顶点x,y之间的距离。对于每个x∈X,定义x的“联系数”(associated number)为     

一致最可靠完全多部图

对于一个连通图G,假设边是可靠的而点以P的概率相互独立地发生故障.图G不连通的概率是一个多项式P(G,p).记作Ω(n,m)是有n个点,m条边的连通图的集合.如果对于任意的网H ∈Ω(n,m)和任意实数p ∈[0,1],P(G,p)≤P(H,p)成立,则称G是Ω(n,m)中的一致最可靠图.本文证明了完全k部图K(b,(b+1)k-3,(b+2)2)是它所在的类中的一致最可靠图.另外,还证明了对任意的h≥2,K(bh,(b+1)k-h-1,(b+2)1)不是其所属类中的一致最可靠图.     

列表双临界图（英文）

G是k-可着色的连通图,如果对于G中的所有边uv,都有G-u-v是(k-2)-可着色的,则称图G是双临界图.由Erdo?s和Lova′sz提出了一个长期未能解决的猜想:完全图是唯一的双临界图[1].连通图G称为边双临界图,如果G中包含多对不相邻的边,并且对于任意一对不相邻的边e1,e2,都有χ(G-e1-e2)=χ(G)-2,其中χ(G)表示图G的色数.Kawarabayashi等人[2]及后来的Lattanzio[3]证明了完全图是唯一的边双临界图.文章证明了在图G中,对于任意的两个点u,v∈V(G),如果ch(G-u-v)=ch(G)-2,则图G是完全图,其中ch(G)表示G的选择数,还证明了完全图是唯一的列表双临界图.     

临界2棱连通图的最大度及度大于4的顶点数的上界

1、前言对一些特殊图类的最小度,人们已经有了较多的认识,然而对于图的最大度及其它度的顶点的性质所知还不多。对临界2棱连通图,当其2度顶点数给定时,我们给出最大度的上界(定理1)及度大于4的各类顶点数的上界(定理2、3),并且这些上界都是最好可能的。我们讨论的都是有限阶的简单图,不另加说明的术语和记号与Bolloás同。     

两类E~G形图簇的补图的色等价性定理

设G是任意的p阶连通图,用ΨG(i)(k,p)表示把图G的第i个顶点vi与星图Sk+1的k度点重迭后得到的图(1≤i≤p),给出了图ΨG(i)(k,p)与星图Sn+1组合而成的两类EG形图簇,并通过研究这些图簇的伴随多项式的因式分解,进而证明了它们的补图的色等价性定理。     

关于四边形连通无爪图的注

文献【1】中,证明了没有1度点的每个四边形连通无爪图G如不包含同构于G1或G2（见图1）的导出子图日使得H中每个4度点x的N1（X,G）是不连通的,那么它是哈密尔顿的．然而,在文献【2】中,命题2．5和定理2．6的叙述和证明中存在一些问题．在本文中,给出了它们的正确表述以及改进了的证明．     

拟无爪哈密尔顿图的邻集条件

作为无爪图的一种推广,拟无爪图类Ainouche引入．已经知道：如果阶数为礼的3-连通无爪图G,对于每一对距离为2的点都有IN（x）∪N（y）｜≥（2n-6）／3,那么图G是哈密尔顿的．在本文中,推广了上述的结论并且得到：如果阶数为n的3-连通拟无爪图G,对于每一对距离为2的点都有｜N（x）∪N（y）｜≥（2n-6）／3,那么图G是哈密尔顿的．     

关于4—正则图的Berge猜想

我们用G=(V,E)表示简单4—正则图,v(G),ε(G)分别表示G的顶点数及棱数,即λ_(G)表示G的圈棱连通度(Cyclic edge Connectivity),λ_(G)=Min{|E′||E′E,G—E′仅由两个均含有回的连通分支构成}。若满足上述条件的E′不存在,则规定λ_(G)=ε(G)。本文中未加说明的其他记号及术语均见[1]。     

临界n一连通图与临界n一边连通图的特征

Lick在文献C1〕中给出了n_连通图与n-边连通图的充要条件.本文在这基础上给出了临界。一连通图和临界。一边连通图的特征.     

临界2-连通图的构造

对于无重边的2-连通图和临界2-连通图,本文定义了2-连通可约链和临界2-连通可约链的概念,给出了它们的数目的下界;进而给出了临界2-连通图的递归构造方法。     

双广义Petersen图的可靠性分析（英文）

设G是连通图,图G的超连通度(超边连通度)是指从图G中删除最小数目的点(边)使得G不连通,且在G的每个分支中不存在孤立点.周进鑫和冯衍全(2012)首次提出了双广义Petersen图的概念,文章证明了双广义Petersen图DP[n,k]是超连通和超边连通的,以及当n?{2k,3}时,κ_1(DP[n,k])=λ_1(DP[n,k])=4.     

114—三次图的构造

在[1]中,只讨论了不含三角形时abc为111和222两种情况的abc—三次图,本文的目的是解决114—三次图的存在问题,并且给出一个图是114—三次图的充要条件,它类似于[1]中的定理4,但不必给予“无三角形”的限制。我们用G表示一个连通的无自环的非K_4的三次图,H表示G的一个最大二部分子图,H中的一条路如果满足(ⅰ)非平凡(ⅱ)它的端点在H中为3度(ⅲ)所有其它顶点在H中为2度,则称这样的一条路为H的一条初等路。如果G的最大二部分子图日中每个3度顶点是长度分别为a、b、c的三条初等路的公共端点,则称G为abc—三次图,若S是G的顶点集V(G)的一个子集,则K=[S,]表示G的棱集E(G)的一个子集,它的端点一个在S中,另一个在中,且称K为G的棱截。截指标c(K,H)定义为:     

变换图G++-的超力连通性

对于图G,一般有λ(G)≤δ(G).如果λ(G)=δ(G),称图G是较大边连通的.如果G的每一个最小边割只能分离G的一个孤立点.称图G是超边连通的.本文证明了几乎所有的有限图G,其变换图G -都是超边连通的.     

超连通图的充分条件（英文）

设G是一个连通图.图的连通度κ(G)存在一个最小正整数k,使得FV,|F|=k且G-F不连通或是一个平凡图.如果每一个最小点割都孤立G的一个点,则图G是超连通的或超-κ的.定义没有孤立点的图G的逆度为R(G)=∑v∈V1/d(v).得到:设n阶连通图G,最小度为δ,若R(G)1+2/(δ+1)+(n-2δ-1)/((n-1)(n-3)),则G是超-κ的.     

Cartesian积与邻点可区别着色之间的关系（英文）

图G的一个正常k-边着色是指k种颜色1,2,…,k对图G各边的一个分配,使得任意2条相邻边染以不同的颜色.对于图G的一个正常边染色f和G中任何一个顶点x,Sf(x)或S(x)表示与顶点x关联的边在f下的颜色所构成的集合.若对于图G中任意2个相邻顶点u和v,有S(u)≠S(v),则称f为图G的邻点可区别正常边染色.对图G进行邻点可区别正常边染色所需的最少颜色数,称为G的邻点可区别正常边色数,记为χ′a(G).图G的一个正常k-全染色是指k种颜色对图G的顶点和边的一个分配,使得任意2个相邻的或相关联元素染以不同的颜色.对于图G的一个正常全染色g和G中任何一个顶点x,使用Cg(x)或C(x)来表示顶点x的颜色(在g下)以及与顶点x关联的边在g下的颜色所构成的集合.若对于G中任意2个相邻顶点u和v,有C(u)≠C(v),则称g为图G的邻点可区别全染色.图G的邻点可区别全染色所需的最少颜色数称为图G的邻点可区别正常全色数,记为χ″a(G).主要讨论了Cartesian积和2种邻点可区别染色之间的关系.     

Cartesian积与邻点可区别着色之间的关系

图G的一个正常k-边着色是指k种颜色1,2,…,k对图G各边的一个分配,使得任意2条相邻边染以不同的颜色.对于图G的一个正常边染色f和G中任何一个顶点x,S_f（x）或S（x）表示与顶点x关联的边在f下的颜色所构成的集合.若对于图G中任意2个相邻顶点u和v,有S（u）≠S（v）,则称f为图G的邻点可区别正常边染色.对图G进行邻点可区别正常边染色所需的最少颜色数,称为G的邻点可区别正常边色数,记为χ'_a（G）.图G的一个正常k-全染色是指k种颜色对图G的顶点和边的一个分配,使得任意2个相邻的或相关联元素染以不同的颜色.对于图G的一个正常全染色g和G中任何一个顶点 x,使用C_g（x）或C（x）来表示顶点x的颜色（在g下）以及与顶点x关联的边在g下的颜色所构成的集合.若对于G中任意2个相邻顶点u和v,有C（u）≠C（v）,则称g为图G的邻点可区别全染色.图G的邻点可区别全染色所需的最少颜色数称为图G的邻点可区别正常全色数,记为χ″_a（G）.主要讨论了Cartesian积和2种邻点可区别染色之间的关系.     

给定围长的图的超三限制性连通度的充分条件

图G是一个连通图.称X为三限制性割,如果G-X的每个连通分支至少有三个点.三限制性连通度k3(G)是三限制性割的最小基数,更进一步,如果图G的围长为4,去掉最小的三限制性割孤立出一条二长路,则称它是超三限制性连通的.本文给定了图是超三限制性连通的直径围长充分条件,还研究了超三限制性边连通图.