Problèmes linéaires dans le Compendy de la praticque des nombres de Barthélemy de Romans et Mathieu Préhoude (1471): Une approche nouvelle basée sur des sources proches du Liber abbaci de Léonard de Pise

The Compendy de la praticque des nombres (1471) is one of a number of commercial arithmetics produced in southern France during the medieval period. Its interest and originality rest in its treatment of problem-solving. The author of the text limited his treatment to an in-depth analysis of only a few types of problems, not treating particular cases but rather emphasizing general methods. The sources from which he drew were very close to the Liber abbaci of Leonardo Fibonacci and many of them were new to the southern French arithmetic tradition. Thus, the Compendy sheds new light on the transmission of arithmetic thought into Europe. Copyright 2000 Academic Press.Le Compendy de la praticque des nombres (1471) est un traité qui appartient au groupe des arithmétiques commerciales du Sud de la France. L'intérêt et l'originalité du texte résident dans la partie consacrée à la résolution de problèmes. L'auteur sélectionne quelques types de problèmes seulement, auxquels il consacre une longue étude, délaissant les cas particuliers pour privilégier les méthodes. Ce faisant, il utilise de nouvelles sources, proches du “Liber abbaci” de Léonard de Pise, étrangères aux autres arithmétiques françaises de la même famille. Le Compendy nous apporte ainsi un éclairage nouveau sur la transmission de l'algorisme. Copyright 2000 Academic Press.MSC subject classifications: 01A35; 01A40.     

A Contextualized Historical Analysis of the Kuhn–Tucker Theorem in Nonlinear Programming: The Impact of World War II

When Kuhn and Tucker proved the Kuhn–Tucker theorem in 1950 they launched the theory of nonlinear programming. However, in a sense this theorem had been proven already: In 1939 by W. Karush in a master's thesis, which was unpublished; in 1948 by F. John in a paper that was at first rejected by the Duke Mathematical Journal; and possibly earlier by Ostrogradsky and Farkas. The questions of whether the Kuhn-Tucker theorem can be seen as a multiple discovery and why the different occurences of the theorem were so differently received by the mathematical communities are discussed on the basis of a contextualized historical analysis of these works. The significance of the contexts both mathematically and socially for these questions is discussed, including the role played by the military in the shape of Office of Naval Research (ONR) and operations research (OR). Copyright 2000 Academic Press.En démontrant, en 1950, le théorème qui porte aujourd'hui leur nom, Kuhn et Tucker ont donné naissance à la théorie de la programmation non-linéaire. Cependant, en un sens, ce théorème avait été démontré auparavant, d'abord par W. Karush en 1939 dans un mémoire de maîtrise inédit, par la suite par F. John en 1948 dans un article qui avait d'abord été rejeté par le Duke Mathematical Journal, et peut-être même plus tôt par Ostrogradsky et aussi par Farkas. Le présent article cherche à élucider deux questions: Peut-on considérer le théorème Kuhn–Tucker comme un exemple de découverte multiple? Et pourquoi le théorème a-t-il été reçu si différemment dans les diverses communautés mathématiques? Notre discussion se base sur une analyse historique contextuelle des différents ouvrages. Nous examinons ici l'importance du contexte, tant du point de vue des mathématiques que du point de vue social, y compris le rôle joué par le secteur militaire dans le cadre de l'Office of Naval Research et de la recherche opérationnelle. Copyright 2000 Academic Press.MSC 1991 subject classification: 01A60; 49-03; 52-03; 90-03; 90C30.     

Historique de la notion de compacite

The Bolzano-Weierstrass and Borel-Lebesgue properties of sets constitute the fundamental ideas that led to the notion of compactness. The link between these ideas appeared for the first time to Fréchet, who formulated the first definition of a compact set. The notion developed simultaneously with that of a complete set thanks mainly to the contributions made by Hausdorff and Alexandroff. Later Moore-Smith convergence and filters enabled simplification of the language.La propriété de Bolzano-Weierstrass et la propriété de Borel-Lebesgue constituent les idées fondamentales qui ont conduit à l'élaboration de la notion de compacité. Le lien entre ces idées est apparu pour la première fois à Fréchet qui a formulé la première définition d'un ensemble compact. Cette notion s'est affinée en même temps que celle d'ensemble complet grâce à Hausdorff et Alexandroff notamment. La convergence à la Moore-Smith et la notion de filtre ont permis ultérieurement de simplifier le langage.     

Leibniz et le problème des partis. Quelques papiers inédits

Depuis son voyage à Paris, en 1672, Leibniz se montre intéressé à l'aspect mathématique de la théorie de la probabilité. En automme 1672, il fait la connaissance de Huygens, qui va l'initier en Mathématiques, rencontre Malebranche et Arnauld, et peut examiner, en 1673, quelques-uns des manuscrits de Pascal. De retour à Hanovre, il essaye de faire ses propres calculs. Sont connus déià les manuscrits “Sur le calcul des partis” du 5 janvier 1676 et “De incerti æstimatione,” de septembre 1678, commentés entre autres par K.-R. Biermann. Ici on va commenter un nouveau manuscrit, de 1686, qui résout le fameux problème de Bernoulli sur le sort de deux joueurs et qui est resté inédit jusqu'ici.     

Les débuts de l'histoire des mathématiques sur les scènes internationales et le cas de l'entreprise encyclopédique de Felix Klein et Jules Molk

At the beginning of the 20th century, the history of mathematics first appeared on different international scenes as a result of different initiatives of mathematicians, historians, and philosophers. By studying the way in which historians of mathematics took advantage of these opportunities, we have sought the contours, the lines of force, and the equilibria of this process of the internationalization of the history of mathematics on an institutional as well as intellectual plane.This search was focused through the study of the German- and French-language editions of the Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften, which is one of the most remarkable examples dating from this period of an international collaboration for mathematics and its history. Copyright 1999 Academic Press.Au début du vingtième siècle l'histoire des mathématiques fait ses débuts sur différentes scènes internationales à l'occasion de différentes initiatives de mathématiciens, d'historiens, de philosophes. En étudiant la façon dont les historiens des mathématiques se saisirent de ces opportunités, nous avons cherché à comprendre les contours, les lignes de force, les équilibres de ce processus d'internationalisation de l'histoire des mathématiques, tant sur le plan institutionnel qu'intellectuel.Cette enquête a été précisée par l'étude des éditions en langues allemande et française de l'Encyklopä-die der mathematischen Wissenschaften qui est un des exemples les plus marquant de cette période d'une collaboration internationale, tant pour les mathématiques que leur histoire. Copyright 1999 Academic Press.MSC subject classifications: 01A60, 01A74.     

On Extremal Permutations AvoidingωN = NN − 1 . . . 1

Dedicated to the memory of Marcel–Paul Schützenberger Cet article présente une étude des permutations qui évitent le motif de la permutation maximaleω_N = NN − 1 . . . 1. Après avoir donné les définitions classiques, nous montrons que l’ensemble de ces permutations est un idéal pour l’ordre de Bruhat faible et faisons l’étude de ses éléments maximaux. Nous exhibons alors un algorithme pour calculer ces éléments et nous montrons que ceux-ci peuvent être obtenus à partir d’un automate. Nous terminons en donnant des estimations asymptotiques de leur nombre. This paper presents a study of permutations avoiding the patternω_N = NN − 1 . . . 1. After recalling the basic definitions, we prove that this set of permutations is an ideal for the weak Bruhat order and begin the study of its maximal elements. We then present an algorithm that generates these elements and find out that they can be obtained from an automaton. Finally, we give some asymptotics about their number.     

Square Root Approximations in Old Babylonian Mathematics: YBC 7289 in Context

We consider several aspects of the role and evaluation of the four-sexagesimal-place approximation to on the well-known Old Babylonian tablet YBC 7289. By referring to what is known about OB school texts, we show that this text is most probably a school exercise by a trainee scribe who got the approximation from a coefficient list. These coefficient lists are briefly described, with their use in geometrical problems. We consider other texts involving square roots and derive an algorithm for evaluating them, which complies with all known OB examples, from a simple geometrical construction of the type that seems to underlie many other OB procedures.Copyright 1998 Academic Press.Nous considérons plusieurs aspects du rôle et de l'évaluation de l'approximation à quatre places sexagésimales de sur cette tablette paléo-babylonienne. En nous référant à l'état des connaissances quant aux textes scolaires paléo-babyloniens, nous montrons comment ce texte est très probablement un exercice scolaire exécuté par un apprenti scribe qui a obtenu l'approximation à partir d'une liste de coéfficients. Nous décrivons en bref ces listes de coéfficients, ainsi que leur utilisation dans les problèmes de géométrie. Nous considérons d'autres textes traitant de racines carrées , et pour les évaluer nous dérivons un algorithme qui est en accord avec tous les exemples paléo-babyloniens connus; ceci à partir d'une construction géométrique simple du type qui semble être charactéristique de beaucoup d'autres procédures paléo-babyloniennes.Copyright 1998 Academic Press.MSC 1991 subject classifications: 01A17; 11-03     

The motion of incompressible fluids with electrical resistivity past thin airfoils in oblique fields

Résumé Le problème de l'écoulement des fluides à résistivité électrique en présence d'un profil mince, dans le cas des champs obliques, est réduit à la résolution d'une équation intégrale du type Fredholm. L'équation peut être résolue à l'aide de la méthode des approximations successives. Dans le cas des champs alignés et dans celui des champs perpendiculaires, lorsque pourR (nombre magnétique de Reynolds) nous considérons des valeurs petites, les équations se résolvent de façon explicite et exacte. On détermine la portance dans le cas d'une plaque et on montre la manière dont la portance décroit à mesure queR augmente. On montre également que dans le cas des champs orthogonaux, la portance est plus petite que dans celui des champs alignés. De la solution générale on obtient, comme cas particulier, la solution de l'aérodynamique classique ainsi que la solution du cas du fluide à résistivité négligeable.     

Recherches sur les systèmes de tourbillons ponctuels soumis à des liaisons et sur la notion de configuration hydrodynamique stable

Conclusion Les résultats obtenus au cours de la première partie mettent en lumière certains cas dans lesquels la conditionN peut être satisfaite. Parmi tous les systèmes de tourbillons du type (5), il faut exclure, pourn pair, ceux qui ne vérifient pas (16). En particulier,une configuration alternée doit donner lieu à (1).Lorsqu'il en est ainsi, la condition N est effectivement réalisée pour le système différentiel qui définit le mouvement relatif des tourbillons. On est alors dans un cas de semi-stabilité. Naturellement, ce résultat ne suffit pas à prouver que la rue illimitée correspondante possède une propriété du même genre, mais il milite en faveur de cette hypothèse. Tout d'abord, aucun argument ne s'oppose plus à cette possibilité, puisque celui de M. G. Durand a pu être écarté. On prévoit, en outre, que la notion de semi-stabilité, précisée ici dans le cas d'un système à nombre fini de variables, pourra être définie dans des circons-tances moins restrictives. Ce point sera traité ultérieurement, je l'espère bien, comme application d'un problème plus général dont je poursuis actuellement l'étude.     

Familles de caractères des algèbres de Hecke cyclotomiques

Nous généralisons au cas des groupes de réflexions complexes la définition de Rouquier des “familles de caractères” des groupes de Weyl (définies antérieurement par Lusztig). Nous mettons en évidence le fait que cette notion dépend d'une manière essentielle du choix de la déformation de l'algèbre de groupe appelée “algèbre cyclotomique”, et nous calculons ces familles pour toutes les algèbres cyclotomiques des familles infinies de groupes de réflexions complexes qui généralisent les familles infinies de groupes de Weyl.     

Critical path analysis for continuum percolation

We prove the validity of the Critical path analysis for a continuum percolation model close to Golden–Kozlov one. This is obtained in the limit of strong disorder.

Résumé

On montre la validité de “Critical path analysis” pour un modèle de percolation continue proche de celui de Golden–Kozlov. Le résultat est obtenu à la limite de grand désordre.     

On the centre of flexure

Résumé Dans une publication publiée en 1950,Berman a déterminé les coordonnées du centre de flexion d'une barre prismatique lorsqu'on connaît seulement les valeurs de la fonction de torsion sur le contour.Dans le travail présenté ici on retrouve ce résultat par une voie beaucoup plus simple, et ceci sans choisir les axes principaux comme axes de coordonnées.On applique le résultat trouvé au cas où la section de la barre peut être représentée d'une manière conforme sur le cercle unité.     

Noyaux potentiels associés à une filtration

We study from the point of view of potential theory some operators V which are “integrals of martingales” and noteworthy the formula (I + V)⁻¹ = I − N where N is a submarkovian kernel. We give an explicit expression of N when the filtration is finite and get the general case with an usual approximation procedure. Some links are made with the matrix theory (ultrametric and Stieltjes matrices) and the graph theory (flows and capacities) when the space is finite.

Résumé

On étudie, du point de vue de la théorie du potentiel, des opérateurs V du type “intégrales de martingale”, et notamment la formule (I + V)⁻¹ = I − N où N est un noyau sous-markovien. On donne une expression explicite de N dans le cas d'une filtration finie, et on traite le cas général par un procédé d'approximation usuel. On fait le lien avec la théorie des matrices (matrices ultramétriques et de Stieltjes) et la théorie des graphes (flots et capacités) quand l'espace est fini.     

Opérateurs elliptiques sur les variétés non compactes

Soient M une variété, V un ouvert de M, et P un opérateur différentiel elliptique du second ordre, à coefficients C^∞ et réels tel que P1 0. Soit A_V l'opérateur induit par P dans l'espace de Banach C₀(V) des fonctions continues sur V nulles au point à l'infini de V, muni de la norme du suprémum. On démontre que A_V engendre un semi-groupe fortement continu à contraction ssi il existe K compact de V, h fonction continue strictement positive dans VβK et nulle au point à l'infini de V telle que (1 − P) h soit la distribution associée à une fonction continue non négative dans VβK. On en déduit immédiatement un résultat bien connu: si M est une variété de Cartan-Hadamard, A_M engendre un semi-groupe fortement continu à contraction dans C₀(M).Let M be a manifold, V an open set of M, and P an elliptic differential operator of the second order, with real C^∞ coefficients and such that P1 0. Let A_V be the operator induced by P in the complex Banach space C₀(V) of all continuous functions vanishing at the point at infinity of V, endowed with the supremum norm. One proves that A_V generates a strongly continuous contraction semi-group iff there exists K compact of V, h continuous strictly positive in VβK and 0 at infinity of V such that (1 − P) h is the distribution associated to a nonnegative continuous function in VβK. One deduces immediately from that a well-known result: if M is a Cartan-Hadamard manifold, A_M generates a strongly continuous contraction semigroup in C₀(M).     

The Missing Problems of Gersonides—A Critical Edition, II

Gersonides' Maaseh Hoshev (The Art of Calculation) is a major work known for its early use of rigorous combinatorial proofs and mathematical induction. There is a large section of problems at the end of the book, with the theme of proportions, which until now remained unpublished. I present a critical edition of this material. I also uncover a previously unknown second edition of Maaseh Hoshev. The material is appropriate for creative pedagogy and provides economic details of the author's culture and environs. A previous article presented the first, 15 problems and this article presents the rest. Copyright 2000 Academic Press.Le Maase Hoshev (L'Art du Calcul) de Gersonide est un ouvrage majeur connu pour son usage précoce de preuves combinatoires rigoreuses et de l'induction mathématique. La fin de l'ouvrage comporte une section importante consacrée a une série de trente problèmes sur le thème des proportions qui était restée inédite jusqu'à ce jour et dont je présente pour la première fois une édition critique. Je révèle également l'éxistence d'une séconde édition de Maase Hoshev. Le matériau peut servir de base à des projets de pédagogie créative et offre des détails sur la culture et l'environnement de l'auteur. Cet article fait suite a une première étude qui présentait les quinze premiers problèmes de Maase Hoshev et en présente les quinze autres.     

The Riemann problem for a class of resonant hyperbolic systems of balance laws

We solve the Riemann problem for a class of resonant hyperbolic systems of balance laws. The systems are not strictly hyperbolic and the solutions take their values in a neighborhood of a state where two characteristic speeds coincide. Our construction generalizes the ones given earlier by Isaacson and Temple for scalar equations and for conservative systems. The class of systems under consideration here includes, in particular, a model from continuum physics that describes the evolution of a fluid flow in a nozzle with discontinuous cross-section.

Résumé

Nous résolvons le problème de Riemann pour une classe de systèmes hyperboliques non-conservatifs et résonants. Ces systèmes ne sont pas strictement hyperboliques et les solutions considérées prennent leurs valeurs au voisinage d'un état constant où deux des vitesses caractéristiques coincident. Notre construction généralise celle donnée précédemment par Isaacson et Temple pour les équations scalaires et les systèmes conservatifs. La classe générale de systèmes étudiée ici comprend, en particulier, un modèle important de la dynamique des milieux continus qui décrit l'évolution d'un fluide dans une tuyère dont la section est discontinue.     

Orientations Acycliques et le Polynôme Chromatique

On attache à tout graphe G son polynôme chromatiqueχ_G (λ), qui dénombre ses colorations régulières avecλ couleurs. D’après Stanley, on sait que |χ_G ( − 1)| est égal au nombre d’orientations acycliques du graphe, un résultat qui fut raffiné par Greene et Zaslavsky. Nous nous proposons de l’affiner davantage en interprétant, avec l’aide de certaines orientations acycliques, les coefficients deχ_G (λ) développé en puissances de λ et surtout en puissances de (λ −  1). L’utilisation systématique des fonctions génératrices des fonctions d’ensembles permet d’avoir des démonstrations très courtes et explicatives. Elles se veulent une réponse à la suggestion faite par Gebhard et Sagan, qui ont déjà trouvé des démonstrations combinatoires de deux résultats de Greene et Zaslavsky. Les fonctions d’ensembles permettent aussi d’établir une série d’interprétations nouvelles de l’invariant β_Gde Crapo. Cet article donne également un nouvel éclat aux résultats classiques de Cartier, Foata, Viennot, Brenti, Gessel et Stanley. The chromatic polynomialχ_G (λ), which is associated with each graph G, enumerates its regular colorations with λ colors. Stanley showed that |χ_G ( − 1)| is equal to the number of acyclic orientations of the graph, a result that was refined by Greene and Zaslavsky. The purpose of the paper is to show that a further refinement can be obtained by interpreting each coefficient of χ_G(λ), when the polynomial is developed with respect to powers of λ and (λ −  1). A systematic use of the generating functions for set functions enables us to have very short and instructive proofs. Gebhard and Sagan, who had already found combinatorial proofs of two results by Greene and Zaslavsky, suggested that further proofs were to be found. Finally, the set functions algebra allows us to establish a series of new interpretations for Crapo’sβ_G invariant. This paper also brings a new light to the classical results due to Cartier, Foata, Viennot, Brenti, Gessel and Stanley.