一个结论的妙用

结论两个面积相等的图形有部分重合,则每一个图形不重合部分的面积相等.应用图1例1(2007年遵义市中考题)如图1所示是重叠的两个直角三角形.将其中一个直角三角形ABC沿BC方向平移得到△DEF.如果AB=8cm,BE=4cm,DH=3cm,则图中阴影部分面积为cm2.简析根据模型,两个三角形是全等的,     

教材多次渗透的好方法——面积法

学习数学掌握解题方法很重要,解题方法对头则事半功倍,面积法就是一种常用的解题方法,教材中多次渗透,下面让我们走进教材去看一看.图1例1(人教版七年级数学下册第76页第7题)如图1,△ABC中,AB=2cm,BC=4cm.△ABC的高AD与CE的比是多少?(提示:利用三角形的面积公式.)分析根据提示S△ABC=12AD.BC=12CE.AB,又AB=2cm,BC=4cm.所以21AD×4=21CE×2,变形得AD∶CE=1∶2.提示的目的就是让我们使用面积法解题,也让学生初步接触面积法.例2(人教版八年级数学下册第78页第8题)在△ABC中∠C=90°,AC=2.1cm,BC=2.8cm.(1)求△ABC的面积;(2)求斜边AB;(3)求高CD.分析(1)S△ABC=21AC.BC=21×2.1×2.8=2.94(cm2).(2)根据勾股定理易求得AB=3.5cm.(3)根据面积得S△ABC=12AB.CD=12×3.5×CD=2.94,解得CD=1.68(cm).这里虽然没有提示,然而通过问题在一步一步地引导着我们使用面积法求斜边上的高.而若不用面积法求CD,此题的难度就太大了.图2例3(人教版八年级数学下册...     

来自趣味心理图形的启示——"逆来顺受"巧证题

1美女酒杯生歧义从右边的图中,您看到的是什么?有人说:“是只酒杯.”也有人说:“是两个美女头.”都没错!这是一个可逆转换图形:如果以黑色为背景(条件),您就会看到一只酒杯(结论);如果以白色为背景(条件),您就会看到两个美女头(结论),这是著名的视觉转换二歧图形———鲁宾之杯     

巧思妙解中考题

许多中考题,解法比较灵活,有循规蹈矩的“正宗”解法,也有别出心裁的巧解.在解中考题时,如何较快地进行巧思,发现它的妙解呢?我们可以引导学生从以下六个方面入手.1实验操作例1(河北省中考题)小宇同学在一次手工制作活动中,先把一张矩形纸片按图1的方式进行折叠,使折痕的左侧部分比右侧部分短1cm;展开后按图2的方式再折叠一次,使第二次折痕的左侧部分比右侧部分长1cm,再展开后,在纸上形成的两条折痕之间的距离是cm.图1图2解析本题的一般解法是从寻找线段间的数量关系来思考:不妨设重叠部分长为xcm,则矩形的长为(2x+1)cm,则展开后,两条折痕左右两侧长分别为xcm,则两条折痕之间的距离为1cm.其实我们只要动手按步骤实际操作一下,无需象上面那样去进行复杂的思考,就可快速发现问题的答案为1cm.图3例2(江苏省泰州市中考题)如图3,在10×10的正方形网格纸中,线段AB、CD的长均等于5,则图中到AB和CD所在直线的距离相等的网格点的个数有A.2个B.3个C.4个D.5个解析这是一道选择题中的压轴题,难度较大,得分率较低,许多考生不能从题目中挖掘隐含条件而“小题大做”、“小题繁做”,甚至有考生(考后调查表明)是在“...     

摆脱繁琐分类 轻松推理计算

在解决数学问题中人们力求完美,可是在许多数学问题中免不了要分类讨论,当遇到繁琐的分类令我们头痛时,可尝试另辟途径将问题转化以避开繁琐分类呢.下面介绍一些常用的转化方法.1规范图形,合理划区图1例1图例1(2003江苏高考题)某城市在中心广场建造一个花圃,花圃分为6个部分,如图1,现要载种4种不同颜色的花,每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花,不同的栽种方法有种.(以数字作答)本题用分类进行计数较繁,如果我们将图1化成图2,采用下面的方法就不需要繁琐地分类了.图2例1图解先栽种1区,有C14种栽法,把其余五个区视为围绕1区的一个…     

构造圆 巧解题

<正>我们在做几何题目时,往往要作辅助线.作什么样的辅助线,要根据具体的条件.比如直角三角形中,出现了斜边的中点,我们会想到作斜边的中线;三角形中出现了两边的中点,我们会想到作中位线;出现30°、45°、60°的角,我们会想到作垂直构造直角三角形;出现圆的切线,我们会想到把圆心和切点连接起来,得到垂直……那什么条件下,应该作圆呢?来看看下面几种情况.一、遇到旋转构造圆例1如图1,正方形ABCD的边长为4cm,正方形AEFG的边长为1cm.如果正方形AEFG绕点A旋转一周,设C、F两点之间     

函数y=Asinωx的图像

1　提出实例问题 1　 (大屏幕显示 )烟筒弯头是由两个圆柱形的烟筒焊在一起做成的 (展示实物 ) .现在我们要用长方形铁片做成一个直角烟筒弯头 (如图 1 ) .如果烟筒的直径为 9cm,最短母线长均为 6 cm,不考虑焊接处的需要 ,选用的材料应是怎样尺寸的矩形铁片 ?如何裁剪 ,才能既省工 ,又节俭 ?图 12　切入正题让我们聚焦直角烟筒弯头 !由于两个圆柱呈垂直状 ,因此两个圆柱形烟筒的截面与水平面成 4 5°角 .现在 ,我们不妨先看一个小问题 ,换一个角度来思考 :问题 2　底面半径是 4 .5cm的圆柱被平面截成形状相同的两个几何体 ,如图 2所示 .若将…     

数学新教材教学偶得

数学中的分类讨论是一种重要的思想方法 ,在数学解题中有着广泛的应用 ,对培养学生思维品质的深刻性、严谨性起着重要的作用 .但在实际的解题中 ,我们又希望尽可能的回避或简化讨论 .其实在一些数学问题的解决过程中 ,只要选择适当的策略、方法 ,是完全可以避免分类讨论的 ,有不少数学同仁已经作了许多成功的探索 .本文笔者现就在新教材的教学过程中 ,发现利用平面向量知识解题可避免一类动态问题的分类讨论 ,列举几例与各位读者共勉 .图 1例 1　如图 1 ,海中有一小岛 P,周围 4 .2海里内有暗礁 ,甲船在 Q处由西向东航行 ,望见小岛在北偏东7…     

“酒杯问题”的距离分析与变式

问题张华同学家有一种轴截面近似抛物线的酒杯,杯口宽4cm,深8cm,张华将一些大小不一的玻璃球分别放入杯中,发现有的可触及杯底,有的不能,对数学感兴趣的他立刻产生了疑问:当玻璃球的半径r为多大时,一定可以触及抛物线酒杯底部?     

例谈课本习题中的数学思想

在数学课本中,到处都可以找到提炼出数学思想、数学方法的素材,本文以义务教育课程标准实验教科书初中二年级数学(华师大版)《勾股定理》章节为例.谈谈课本习题中的数学思想.1 转化思想例1(P51例1) 如图1,一圆柱体的底面周长为20cm,高AB为4cm,BC是上底面的直径.一只蚂蚁从点A出发,沿着圆柱的侧面爬行到点C,试求出爬行的最短路程.     

浅议中考中常用的数学思想

数学思想,是学习数学的核心,是数学解题的灵魂,是数学方法本质的体现.在平时的学习过程中,如果能有意识地发现解题过程中的数学思想,并能加以归纳,则抓住了问题的本质,升华了思维,真正学到了解决数学问题的方法.现把中考中常用的数学思想总结如下,以便同学们在学习中参考. 一、整体思想 例1如图1,△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠CAB交BC于D,DE⊥AB于E,且4B=6cm,则△DEB的周长为( ).A.4cm B.6cm C.10cm D.不能确定     

图G_n×P_2的优美性

在文[l]中,我们证明了图C_4k×P_m的优美性,并且提出了一般地C_n×P_m是优美图的猜想,在本文中我们证明了图C_n×P_2的优美性.定理图C_n×P_2是优美图.我们将图G=C_n×P_2的2n个顶点分别记为u_i,u_i,i=l,2,…,n,其位置如图1所示.首先给出两种难以归属到一般情况的,n=3,n=5情况各顶点的优美值,见图2.至于n=4的情况,文[1]已经给出,这儿就不给出了.     

动态几何问题综述

动态几何问题是近几年中考压轴题的一大亮点,为中考一大特色题型.例1(2003吉林)如图1,矩形ABCD中,AB=10cm,BC=8cm.点P从A出发,沿A→B→C→D运动,到D停止;点Q从D出发,尚D→C→B→A运动,到A停止,两点同时出发,P、Q速度分别为1cm/s、2cm/s.a秒时,两点同时变速,P、Q速度分别变为6cm/s.dcm/s.图2是P出发x秒后△APD面积S1(cm2)与x(秒)的函数图象;图5是Q出发x秒后△AQD面积S2(cm2)与x(秒)函数图象.图1图2(1)参照图2求a,b及图2中c值;(2)求d值;(3)设P离开A的路程为y1;Q到AA还需走y2cm,请写出两点同时变速后,y1,y2关于运动时间x的关…     

初三几何第二学期自测题

一、填空题 (每小题 3分 ,共 3 0分 )1 .△ABC中 ,AB =1 3 ,AC =5 ,BC =1 2 ,则△ABC的外接圆直径为 .2 .圆的半径为 5 ,圆中一条弦的弦心距为 4,那么这条弦长为 .3 .已知⊙O的半径为 5cm ,圆心O到直线AB的距离为 5cm ,那么直线AB与⊙O的位置关系为 .4.正六边形的半径与边心距之比为 .5 .半径为 6cm的圆中 ,长为πcm的弧所对的圆周角为 .6.如图 1所示 ,EF是⊙O的弦 ,P是EF上一点 ,EP =5 ,PF =4,OP =4,则⊙O的直径是 .7.如图 2所示 ,PA是⊙O的切线 ,A为切点 ,PBC是过点O的割线 ,PA =4cm ,PB =2cm ,则⊙O的面积为.8.已知⊙…     

一道纸杯制作试题

<正>近几年各地中考试题中出现了"几何设计题目",这些试题成为中考试卷中的亮点,这是趣味几何学中的新颖试题,属于非常规试题.1.原试题案例某班课题学习小组,进行了一次纸杯制作与探究活动,所要制作的纸杯(如图1所示)规格要求:杯口直径AB=6cm,杯底直径CD=4cm,杯壁母线AC=BD=6cm,并且在制作过程中纸杯的侧面展开图不     

四面体的一种补形方法及其应用

如图1,从长方体中砍下一个角,可以得到直角四面体PABC.反之,对于直角四面体,我们可以将它补成长方体用以解题,这是立体几何中已经司空见惯的一种补形解法.本文介绍对于一般四面体都适用的另一种补形解法.如图2,从平行六面体中砍下四个角,可以得到四面体ABCD.反之,我们可以将四面体补成图2所示的平行六面体来解决一些问题.下举数例,予以说明.图1长方体图2平行六面体例1(2003年全国高中数学联赛题)在四面体ABCD中,设AB=1,CD=3,直线AB与CD的距离为2,夹角为3π,则四面体ABCD的体积等于()(A)23.(B)21.(C)31.(D)33.图3例1图图4例1图解…     

贵州省遵义市2005年中考数学试题

一、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)1.21的相反数是.2.计算:(-3)2-1=.3.今年“五·一”黄金周期间,以遵义为中心的黔北红色旅游共接待游客约488000人次,用科学记数法表示这个数为人次.4.在函数y=x 1中,自变量x的取值范围是.5.在平面直角坐标系中,点P(2,3)与点P′(-2,m 1)关于原点对称,则m=.6.计算:32-1-12=.(7题图)7.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,中位线EF=5cm,高AH=4cm,则S梯形ABCD=cm28.如图,把一个边长为6cm的正三角形剪成一个最大的正六边形,则这个正六边形的周长为cm.9.如图所示是某超市的自动扶梯的示意图,大厅两层之…     

浅说垂径定理的应用

华东师大版《数学》九年级 (上 )第四十八页“试一试” ,同学们 ,发现了什么结论吗 ?这个结论是 :垂直于弦的直径平分弦 ,并且平分弦所对的两条弧 .这个结论叫做垂径定理 .而实际上 ,如果一条直线具有 :( 1 )垂直弦 ;( 2 )过圆心 ;( 3 )平分弦 ;( 4 )平分弦所对的劣弧 ;( 5 )平分弦所对的优弧这五个性质中的任何两个 ,那么它同时也具有其余三个性质 .(具有 ( 2 )、( 3 )时 ,弦不能为直径 ) .一、垂径定理是进行有关圆的计算的依据 ,在实际中有着广泛的应用例 1　如图 1 .在⊙O中 ,弦AB的长为 1 6cm ,⊙O的半径为 1 0cm ,求圆心O到AB的距离 .解 :过点O作OE⊥AB于E ,连结OA .因为OE过圆心且垂直于弦 ,所以平分弦 .因此　AE =12 AB =8cm .根据勾股定理 ,得OE =OA2 -AE2 =1 0 2 -82 =6cm .因此圆心O到AB的距离为 6cm .例 2　“五段彩虹展翅飞” .我省利用国债资金所建的横跨南渡江的琼州大桥 ,今年 5月 1 2日正式通车 .该桥的两边均有五个红色的圆拱 (如图 2 ) ,其中最高的圆拱的跨...     

2006年浙江省台州市中考数学试卷

一、选择题(有12小题,每小题4分,共48分)第2题图1.下列各数中是正整数的是()A.-2B.1C.0.3D.22.如图,长方体的面有()A.4个B.5个C.6个D.7个3.下列计算正确的是()A.3x-2x=1B.3x 2x=5x2C.3x·2x=6xD.3x-2x=x4.直径所对的圆周角是()A.锐角B.直角C.钝角D.无法确定第5题图5.如图,圆锥的母线长为5cm,底面半径为3cm,则此圆锥的高线长为()A.4cm B.5cmC.3cm D.8cm6.方程x2-4x 3=0的两根之积为()A.4B.-4C.3D.-37.要使根式x-3有意义,则字母x的取值范围是()A.x≥3B.x>3C.x≤3D.x≠38.若反比例函数y=xk的图象经过(-2,1),则k的值为()A.-2B.2C.-…     

剖析一道立几最值题

在学习了多面体的体积之后 ,我给学生布置了如下一道作业题 :有一容积为a3cm3的正方体容器ABCD-A1B1C1D1,在棱AB、BB1和面对角线BC1的中点各有一小孔E、F、G ,若此容器可以任意放置 ,则其可装水的最大容积是 (　　 ) .(A) 12 a3cm3　　　 (B) 78a3cm3(C) 1112 a3cm3(D) 4 748a3cm3让人颇感意外的是学生在作业中选择各种答案的都有 ,但选中正确答案的却寥寥无几 .其主要错误及其原因如下 :错解 1　如图 1那样放置 ,选择答案 (A) .错因　忽略了题中“容器可以任意放置”的条件 .错解 2　如图 2那样放置 ,使水平面为图中的阴影部分 ,…