Neuere Vorstellungen über den Einfluß der Geschwindigkeit auf die Schmierung beim Kaltwalzen

Zusammenfassung Ausgehend von einigen neueren Angaben im Schrifttum wird gezeigt, daß beim Kaltwalzen von Bändern der Reibungsbeiwert im Walzspalt mit wachsender Walzgeschwindigkeit abnimmt. Zur Erklärung dieses Verhaltens müssen rheologische Vorgänge im Walzspalt angenommen werden. Die besondere Kinematik des Walzens läßt vermuten, daß sich der Schmierstoff dabei nicht reinviskos, sondern viskoelastisch verhält. An Hand eines Kraft-Weg-Schaubildes für die Federkraft des Walzgerüstes und die zur plastischen Umformung des Bandes nötige Walzkraft werden die Rückwirkungen der mit der Geschwindigkeit veränderten Schmierung auf die Walzkraft und die Enddicke des Bandes erläutert. Neben der Walzspaltschmierung ist dabei auch die Lagerschmierung zu berücksichtigen, wenn die Walzen in Ölflutlagern laufen. Ihr Zusammenspiel wird für das Anfahren und Abbremsen einer Kaltwalzstraße veranschaulicht.Vorgetragen auf der Rheologen-Tagung vom 15. bis 17. Mai 1962 in Berlin-Dahlem.     

Finite element stability analysis of pre-twisted Beck's column

Summary This paper presents a stability and vibration analysis of a pre-twisted cantilever column subjected to vertical and follower loads at its free end. The investigation is carried out using finite element modelling where the effects of transverse shear deformation and rotatory inertia are taken into account in deriving the element matrices. By using the assembly procedure and imposing the boundary conditions, a relationship between the load and vibration frequency is obtained. The critical, divergence and flutter, loads are calculated by evaluating the relationship and shown in figures for various values of non-conservativeness parameter, of twist angle, and those of rigidity ratio.

---

Untersuchung der Stabilität des verwundenen Beck-Stabes mit Finiten Elementen

Übersicht Dieser Aufsatz stellt eine Stabilitäts- und Schwingungsuntersuchung des vorverwundenen, einseitig eingespannten Stabes dar, der an seinem freien Ende vertikalen und mitgehenden Lasten ausgesetzt ist. In der Untersuchung wird die Methode der finiten Elemente angewendet, und in der Herleitung der Elementmatrizen werden die Einflüsse der Schubspannungen infolge der Querkraft und der Rotationsträgheit berücksichtigt. Eine Beziehung zwischen der Last und der Schwingungsfrequenz wird dadurch ermittelt, daß man die Gesamtssystemmatrix bildet und die Randbedingungen anwendet. Durch die Auswertung der Beziehung werden die kritischen Divergenz- und Flatterlasten für verschiedene Werte des Nichtkonservativitätsparameters, des Verwindungswinkels und des Steifigkeitsverhältnisses ermittelt und in Bildern dargestellt.

     

Fließverhalten plastisch kompressibler Werkstoffe

Zusammenfassung In dieser Arbeit wird über isotropes und anisotropes, plastisches Fließen kompressibler Werkstoffe allgemein und im Vergleich mit Meßergebnissen an Plastomeren berichtet. Ausgehend von einem plastischen Potential für Isotropie wird eine Fließbedingung formuliert, die einen isotropen Bauschinger-Effekt berücksichtigt und in Sonderfällen allein die Fließgrenzen aus Grundversuchen (Zug-, Druck- und/oder Schubversuch) zur Beschreibung des Werkstoffverhaltens benötigt. In Anwendungsbeispielen und im Vergleich mit Meßergebnissen werden Grundversuche mit überlagertem hydrostatischem Druck und der ebene Spannungszustand untersucht.Ein allgemeines plastisches Potential für Anisotropie führt nach Reduktion der Anisotropieparameter auf den Sonderfall einer orthotropen Fließbedingung mit Berücksichtigung des Bauschinger-Effekts in Normal-und Schubspannungen. Davon ausgehend wird die Orientierungsabhängigkeit von Zug- und Schubfließgrenzen berechnet und mit Meßwerten aus Kurzzeitzeitversuchen an Proben aus einachsig vorgereckten dünnen Scheiben aus PETP verglichen.Entsprechend der Theorie des plastischen Potentials wird die Kinetik bei Isotropie und Anisotropie behandelt. Dabei ergibt sich, daß Werkstoffe, die den angegebenen Potentialen entsprechen, außer plastischer Volumendilatation auch Dilatanz zeigen können. Neben der Herleitung der Vergleichsformänderungsgeschwindigkeit und der Anwendung auf den ebenen Spannungszustand wird die Orientierungsabhängigkeit von Verformungsbändern behandelt und mit den Meßwerten aus den Zugversuchen an PETP-Proben verglichen. Die gute Übereinstimmung zwischen Meßwerten und Rechenergebnissen zeigt, daß die in der Theorie des plastischen Potentials geforderte Verknüpfung von Fließbedingung und Stoffgleichungen für die untersuchte Werkstoffgruppe zutrifft und damit auch für Plastomere die Existenz eines plastischen Potentials angenommen werden kann.

---

Summary This paper deals with the generalized plastomechanics and the flow behaviour of materials whose volume does not remain constant during plastic deformation. The usual assumption of plastic incompressibility is treated as a special case. In order to investigate the significance of an isotropic Bauschinger effect, a yield criterion is developed on the base of the plastic potential. The relations deduced are applied to polymers in the glassy state and compared with experimental data from tests in different stress fields. It is shown that the yield stress for this group of plastics is strongly dependent on the hydrostatic pressure.A restricted form of a general anisotropic yield criterion may be obtained by postulating the existence of three mutually orthogonal principal axes of anisotropy. This criterion implies that the uniaxial and shear yield stresses are not invariant with respect to sign (Bauschinger effect). The orientation dependence of tensile and shear yield stress for oriented polyethylene terephthalate sheet is calculated and compared with experimental data.The corresponding flow rule is commonly derived from the plastic potential, to give the plastic strain increments. Therefore the flow behaviour and, for example, the orientation dependence of plastic deformation bands in tension, can be deduced using only experimental stress data. The agreement between calculated and experimental results for polymers show that a plastic potential exists in which the yield criterion and strain rates are combined.

---

---

Mit 14 Abbildungen und 1 Tabelle     

Testing of a constitutive equation with free volume dependent relaxation spectrum

Summary A model of non-linear viscoelasticity with relaxation times dependent upon free volume is here proposed. The free volume is related to the isotropic part of the stress tensor by means of a simple differential equation.The model predictions are compared with a large amount of experimental results taken on polymeric melts or concentrated solutions and reported in the literature. The single parameter of the model is determined, within each set of data, by fitting of the viscosity curve. A satisfactory agreement is obtained with data taken under both elongation and shear for which also the relaxation behavior after single and double strain steps is considered.

---

Zusammenfassung Es wird das Modell einer nicht-linear viskoelastischen Flüssigkeit vorgeschlagen, bei dem die Relaxationszeiten vom freien Volumen abhängen. Das freie Volumen wird dabei durch eine einfache Differentialgleichung mit dem isotropen Teil des Spannungstensors verknüpft.Die Voraussagen des Modells werden mit einer großen Anzahl von experimentellen Ergebnissen an Polymerschmelzen und konzentrierten Lösungen verglichen, die in der Literatur mitgeteilt sind. Der einzige Parameter des Modells wird für jeden Datensatz durch Anpassung der Viskositätskurve bestimmt. Man erhält eine befriedigende Übereinstimmung für die Meßwerte sowohl von Dehn- als auch von Scherversuchen, wobei ebenfalls das Relaxationsverhalten nach dem Aufprägen einfacher und doppelter Dehnungsstufen betrachtet wird.

---

---

With 16 figures and 1 table     

Das Druckströmungsfeld in zylindrischen Fließkanälen mit beliebigem Querschnitt)

Zusammenfassung Es wird eine Näherungsrechnung behandelt, die es in vielen Fällen ermöglicht, die zweidimensionale stationäre Strömung Newtonscher Flüssigkeiten in zylindrischen Fließkanälen mit beliebigem Querschnitt zu berechnen. Für die gesuchte Funktion der Geschwindigkeitsverteilung wird ein Lösungsansatz gewählt, der eine Anzahl unbestimmter Parameter enthält. Dieser Ansatz wird in die die Bewegung beschreibenden Differentialgleichungen eingesetzt. Die freien Parameter im Lösungsansatz werden nun so bestimmt, daß die Differentialgleichung und ggf. die vorliegenden Randbedingungen möglichst gut erfüllt werden. Dies geschieht mit Hilfe der Methode der kleinsten Quadrate, die die Summe der Fehler bzw. Fehlerquadrate zum Minimum macht. Die Geschwindigkeitsverteilung liegt damit in Form einer Funktion der Ortskoordinaten vor, mit der ggf. in einfacher Weise weitergerechnet werden kann. Das Verfahren wird an einigen Beispielen erläutert.Vortrag auf dem Darmstädter Kunststoff-Kolloquium am 21. März 1969.Alle numerischen Rechnungen wurden an der elektronischen Datenverarbeitungsanlage TR4 des Rechenzentrums der Universitgt Stuttgart durchgefiihrt.Für die Erm6glichung und Diskussion dieser Arbeit danke ieh Herrn Prof. Dr.-Ing. G. Sehenkel.Herrn Dr.-Ing.E. Steck sei an dieser Stelle für wertvolle Hinweise und Diskussionen gedankt.     

Notes on plastic reloading zone in the asymptotic analysis of elastic-plastic crack extension

Summary The asymptotic structures of near-tip stress and deformation fields are studied for steady-state crack extension in elastic-plastic solids. The condition for the existence of a plastic reloading zone is formulated. If a plastic reloading zone is to exist in hardening materials, the effective stress must become unbounded as the crack flank is approached. It is shown explicitly in the case of mode III that solutions with logarithmic singularity produce negative plastic dissipation in the plastic reloading sector.

---

Über die rückplastizierte Zone bei asymptotischen Lösungen der elastisch-plastischen Rißausbreitung

Übersicht Untersucht wird die asymptotische Form von rißspitzennahen Spannungs- und Verformungsfeldern bei der stationären Rißausbreitung in elastisch-plastischen Körpern. Die Bedingung für die Existenz einer rückplastizierten Zone wird formuliert. Wenn eine solche Zone bei verfestigendem Material vorhanden sein soll, muß die Vergleichsspannung bei Annäherung an die Rißflanke unendlich werden. Es wird gezeigt, daß bei Mode III die Lösungen mit logarithmischer Singularität negative Dissipation in der rückplastizierten Zone bedeuten würden.

     

Column buckling under general loads with allowances for pre-buckling shortening and shear deformation

Summary The paper investigates the elastic buckling behaviour of columns under a combined trapezoidal distributed axial load and an end concentrated load. The buckling analysis takes into account the effects of pre-buckling shortening and shear deformation. For shear deformation, Engesser's assumption of the shear force acting perpendicularly to the centreline of the deflected column is adopted. Based on the derived incremental total potential energy functional, the finite element method is employed for solution. The effects of pre-buckling shortening and shear deformation are investigated and approximate formulas are proposed to incorporate them into the assessment of buckling loads for columns.

---

Knickung von Stäben mit Vorstauchung und Schubverformung bei allgemeiner Belastung

Übersicht In diesem Beitrag wird die elastische Stabknickung unter axialer, trapezförmiger Streckenlast und Einzellast am Ende untersucht. Der Einfluß einer Stabverkürzung vor dem Knicken und von Schubverformung wird berücksichtigt. Hinsichtlich der Schubverformung wird Engessers Annahme verwendet, d. h., die Querkraft wirkt senkrecht zur Achse des verformten Balkens. Ausgehend vom Funktional der inkrementellen, totalen potentiellen Energie wird zur Lösung die Finite-Element-Methode benutzt. Die Effekte von Vorstauchung und Schubverformung werden untersucht. Es werden Näherungsformeln für die Abschätzung der Knicklasten vorgeschlagen.

     

On the relation for plastic spin

Summary Within the framework of the theory of finite elastoplasticity based on the known concept of the local, relaxed, isoclinic configuration the large plastic deformations with strain induced anisotropy and emerging plastic spin are studied. The derivation of the relation for plastic spin, based on the analysis on the simple shear problem for rigid-plastic material with kinematic hardening is provided and the experimental verification of the calculated axial elongation in the unconstrained large-strain shear problem is presented. The applicability of the proposed model is discussed.

---

Zur Ermittlung der Stoffgesetze für den plastischen Spin

Übersicht Im Rahmen der Theorie endlicher elastoplastischer Formänderungen unter Verwendung des bekannten Konzepts lokaler, relaxierender, isokliner Konfigurationen werden große plastische Deformationen mit durch Dehnung hervorgerufener Anisotropie und daraus resultierendem plastischen Spin untersucht. Die Gleichung für den plastischen Spin wird mit dem Modell der einfachen Scherung hergeleitet. Dabei wird starr-plastisches, kinematisch verfestigendes Material angenommen. Das Modell des reinen Schubes wird numerisch behandelt und mit experimentellen Ergebnissen tordierter dünnwandiger Zylinder mit unbehinderter axialer Dehnung verglichen. Die Anwendbarkeit des vorgeschlagenen Modells wird diskutiert.

     

Stress overshoot: Real and apparent

Summary We give theoretical and experimental consideration to the stress overshoot phenomenon and attempt to distinguish between (apparent) overshoot arising frominstrument effects and (real) overshoot which can be regarded as a property of the material.The experiments are performed on a Weissenberg Rheogoniometer and particular attention is paid to the effect of the natural frequency of the torquemeasuring system and also to edge effects.The experimental results for Newtonian liquids are found to be in excellent quantitative agreement with the theoretical predictions. In the case of elastic liquids, the experimental results are in qualitative agreement with the predictions for a simple elastico-viscous model. We do not find any significant evidence of aberrations due to edge effects.It is concluded that although stress overshoot can be significantly affected by instrument factors, it is nevertheless a true material property.

---

Zusammenfassung Es wird das Phänomen des Überschießens der Spannung (beim Spannversuch) theoretisch und experimentell untersucht mit dem Ziel, zwischen einem (scheinbaren) Überschießen infolge instrumenteller Gegebenheiten und einem (wirklichen) Überschießen infolge von Stoffeigenschaften zu unterscheiden.Die Experimente werden mit einem Weissenberg-Rheogoniometer ausgeführt, und es wird dem Einfluß der Eigenfrequenz des Drehmoment-Meßsystems sowie den Randeffekten besondere Aufmerksamkeit geschenkt.Die experimentellen Ergebnisse für newtonsche Flüssigkeiten zeigen eine ausgezeichnete Übereinstimmung mit den theoretischen Voraussagen. Im Falle der elastischen Flüssigkeiten sind die experimentellen Ergebnisse in qualitativer Übereinstimmung mit den Voraussagen für eine einfache viskoelastische Modellflüssigkeit. Es werden keine signifikanten Abweichungen infolge von Randeffekten gefunden.Man kommt zu dem Schluß, daß es sich trotz der Möglichkeit einer deutlichen Beeinflussung durch instrumentelle Faktoren beim Überschießen der Spannung dennoch primär um die Auswirkung einer Stoffeigenschaft handelt.

---

---

With 12 figures     

Übertragungsmatrizen bei Schwingungen dünnwandiger Stäbe mit offenen Profilen bei Kopplung von Biegung und Drillung

Zusammenfassung Das Verfahren der Übertragungsmatrizen wird auf die Berechnung der erzwungenen, gekoppelten Biege- und Drillschwingungen von Stäben mit dünnwandigen, schwach stetig veränderlichen Querschnitten angewandt. Hierbei ist es nicht notwendig, die Übertragungsmatrizen explizit zu berechnen, vielmehr dient der Begriff der Übertragungsmatrix nur zur formelmäßigen Darstellung des Rechnungsganges (Gl. (14)). Die Zahlenrechnung selbst erfolgt durch zyklische Anwendung des Goussschen Algorithmus und eines Matrixproduktes. Abweichend von der sonst üblichen Betrachtungsweise wird nicht ein mechanisches Modell mit stückweise konstanten Querschnitten zugrundegelegt, sondern es wird der wirkliche Stab mit einer mathematischen Ersatzlösung behandelt, wobei die bekannten Lösungen des Problems für prismatische Stäbe als Näherungslösungen dienen. Dieses Verfahren hat gegenüber einer Behandlung als abgesetzter Stab den Vorteil, daß auch die Spannungen, die nach Gl. (16) und (18) direkt aus den Verschiebungsableitungen und den Querschnittskoordinaten berechnet werden, an den Intervallgrenzen stetig sind. Inwieweit zusätzliche Einflüsse, die hier nicht berücksichtigt werden konnten, bei stark verjüngten Stäben eine Rolle spielen, muß noch festgestellt werden. Über im Zusammenhang hiermit geplante experimentelle Untersuchungen soll später berichtet werden.Aus dem Institut für Mechanik (Prof. Dr.-Ing. K.-A. Reckling) der TU Berlin.     

Dynamic analysis of constrained elastic systems

Summary The dynamic behaviour of a vertical cantilever carrying a concentrated mass at the top, and elastically constrained atsome point is examined. Green's function of the associated unconstrained problem is developed, using which the differential equation of the constrained problem is transformedinto an integral equation. The latter has been shown to be a contractive mapping ensuring both existence and uniqueness of solution.

---

Analyse der Dynamik einer elastischen Säule mit Feder-Fesselung

Übersicht Untersucht wird das dynamische Verhalten einer vertikalen Säule, die an der Spitze eine Einzelmasse trägt und in einer gewissen Höhe an eine Feder gefesselt ist. Die Greensche Funktion des assoziierten Problems ohne Fesselung wird entwickelt und mit ihr die Differentialgleichung des Systems mit Fesselung in eine Integralgleichung überführt. Für letztere wird gezeigt, daß sie eine kontrahierende Abbildung ist und daher die Existenz und Eindeutigkeit der Lösung gewährleistet ist.

     

Turbulente Vermischung ebener Heißluftstrahlen

Zusammenfassung Auf der Grundlage eines vom Verfasser in einer vorangegangenen Arbeit aufgestellten Gleichungssystem für turbulente Strömungen von Gasen stark veränderlicher Dichte wird die turbulente Vermischung ebener Heißluftstrahlen, die zunächst durch eine Scheidewand getrennt sind und sich dann in einem Winkelraum mischen, berechnet. Die Lösung des nichtlinearen Gleichungssystems erfolgt mittels eines Iterationsformalismus. Berechnet werden die Verteilungen der Geschwindigkeit und der Temperatur für eine Reihe von Parametern der Geschwindigkeits- und Temperaturdifferenz. Es resultiert, daß der Winkelraum der Mischung sich mit wachsender Temperaturdifferenz zum heißeren Strahl hin dreht. Weiterhin ergibt sich, daß der Zustrom zum Mischungsraum sich beim Überschreiten der Schwelle gleicher Impulsströmungen beider Strahlen in einen Abstrom wandelt. Der Vergleich mit vorliegenden Messungen an Heißluftstrahlen in bewegter Luft ergibt für die Temperaturverteilungen gute Übereinstimmung sowohl hinsichtlich der Mischbreite wie auch des Verhältnisses von Außen- zu Innenwinkel. Hinsichtlich der letztgenannten Charakteristik ist für die Geschwindigkeitsverteilungen befriedigende Übereinstimmung erst bei Einführung eines effektiven Düsenradius, der dem Impulsverlust der Strömung an der Düsenwandung Rechnung trägt, zu erzielen.     

Steady motions in controlled gyrostat systems

Summary The equations of motion of a gyrostat system are given for the general case in which gyroscopic terms are present which are not due to the rotor motion. The stability of steady motions is investigated for free and for controlled systems. Observability and controllability are discussed, with the relative rotor speed as observation and the torque on the rotor as control variable.

---

Stationäre Bewegungen geregelter Gyrostaten-Systeme

Übersicht Die Bewegungsgleichungen von Gyrostaten-Systemen werden für den allgemeinen Fall angegeben, in dem gyroskopische Terme auftreten, die nicht von der Rotorbewegung stammen. Die Stabilität stationärer Bewegungen des freien und des geregelten Gyrostaten werden untersucht. Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit werden ebenfalls behandelt mit der relativen Rotordrehzahl als Beobachtung und dem Drehmoment um die Rotorachse als Steuergröße.

     

Zum Einfluß der Kompressibilität des Fluides bei sphärisch schwingenden Gasblasen in Flüssigkeiten

Übersicht Die von Herring und Trilling hergeleitete Differentialgleichung zur Beschreibung der Radialbewegung einer pulsierenden Gasblase in einer Flüssigkeit unter Berücksichtigung der Kompressibilität des Fluides wird ergänzt und numerisch gelöst. Die Ergebnisse werden mit dem bekannten RPNNP-Blasen-Modell, welches die Flüssigkeit als inkompressibel voraussetzt, verglichen. Die eigenen Rechnungen zeigen sehr gute Übereinstimmung mit den Experimenten von Lauterborn und Ebeling. Es zeigt sich, daß auch bei kleinen Radialgeschwindigkeiten der Blasenwand die Kompressibilität der Flüssigkeit eine wichtige Rolle spielt. Die Kollapszeit wird von beiden Modellen gut wiedergegeben.

---

Summary The differential equation of the radial motion of a pulsating gas bubble in a liquid including the fluid compressibility given by Herring and Trilling is completed and solved numerically. The results are compared with the known incompressible RPNNP-bubble model. The own calculations are in a very good agreement with the experiments by Lauterborn and Ebeling. It shows that the fluid compressibility is very important at small radial velocities of the bubble wall, too. The time of collapse is good represented by both models

     

Control torque components of center-of-mass motions in hammer throwing

Summary Modified Newton's law and Euler's equation of motion giving the internal or control forces and torques in the thrower's joints are derived. It is considered that all the forces and torques, acting on any part of the thrower's body producing motion, are due to linear and angular velocity changes and to the external forces such as gravity and friction with the ground. Unfortunately, any estimation of the thrower's joints' internal or control forces and torques from this mechanical model is complicated by the asymmetric nature of the resultant equations of motion.A simplified bi-mass model is worked out as an application of this approach. Using experimental data for the center of mass paths of the hammer and the thrower the body main control driving torques at the various points in the movement pattern are evaluated, and the thrower's balance is further studied.

---

Drehmomentenregelung der Massenmittelpunktsbewegung beim Hammerwurf

Übersicht Zur Bestimmung der inneren Kräfte und Momente in den Gelenken eines Hammerwerfers werden die Bewegungsgleichungen aufgestellt. Es wird angenommen, daß alle Kräfte und Momente in den Körperteilen des Sportlers, die die Bewegung erzeugen, von Geschwindigkeits- und Winkelgeschwindigkeitsänderungen sowie äußeren Kräften wie Schwerkraft und Reibkontakt mit dem Untergrund herrühren. Allerdings ist die Bestimmung der Gelenkbeanspruchungen mit diesem mechanischen Modell kompliziert. Deshalb wird vereinfachend ein Zwei-Massen-Modell behandelt. Mit Hilfe experimenteller Daten über die Bewegung des Hammers und des Körperschwerpunktes wird das wesentliche, den Antrieb regelnde innere Moment für verschiedene Zeitpunkte des Bewegungsablaufs bestimmt.

     

The effect of shear and rotary inertia of a rotor at its critical speeds

Summary This paper deals with the eigenfrequencies of flexural vibration of a homogeneous rotor model which includes shear, rotary inertia and the gyroscopic effect. A formula for the critical speeds of this rotor has also been found. It appears that the effect of these factors is smaller when the critical speed increases and the ratio of slenderness of a rotor decreases.

---

Der Einfluß von Querschub und Drehträgheit eines Rotors bei seinen kritischen Drehzahlen

Übersicht Betrachtet wird das Problem der Eigenfrequenz bei Biegeschwingungen eines homogenen Rotor-modells, das den Einfluß der Querkraft, der Drehträgheit und des Kreiseleffekts berücksichtigt. Es zeigt sich, daß der Effekt dieser Einflußgrößen mit anwachsender kritischer Drehzahl und abnehmendem Schlankheitsgrad des Rotors kleiner wird.

     

Feld- und Stützmomenteneinflußfelder zweifeldriger Platten mit freien Längsrändern

Übersicht Für die Einflußfelder der Feld- und Stützmomente zweifeldriger Platten mit freien Lüngsrändern werden auf der Grundlage der Singularitätenmethode Lösungen hergeleitet. Ausgangspunkt der Berechnung sind die geschlossen darstellbaren modifizierten Singularitäten eines frei drehbar aufgelagerten Plattenstreifens. Aus dem Plattenstreifen wird ein die Singularität tragender Bereich herausgeschnitten und den Randbedingungen einer Zweifeldplatte mit freien Längsrändern angepaßt. Hierzu dienen biharmonische Polynome und einfache Reihen elementarer transzendenter Funktionen reellen und komplexen Arguments.

---

Summary Solutions based on the method of singularities are developed for the influence surfaces of the span and support moments of two-span plates with free longitudinal edges. Starting points for the investigation are the modified singularities of a simply supported strip of the plate, which can be represented in a closed form. An area covering the singularity is cut from the strip, and is adjusted to the boundary conditions of the two-span plate with free longitudinal edges. For this purpose, biharmonic polynomials and simple series of elementary transcendental functions with real and complex arguments are employed.

     

Instability of the vibrations of a rotating thin disk due to an additional support

Summary Vibrations of a rotating thin disk, such as a floppy disk with a clamped inner circle, a free outer periphery and an elastic support at one point are analyzed with due consideration of the centrifugal force. A solution of the equation of motion is described in the form of a series by orthogonal eigenfunctions of a non-rotating disk with the same boundary conditions, and a characteristic equation is introduced by the existence condition of the coefficients. The relation between natural frequencies and angular velocity, and regions of instability of free vibrations are shown.

---

Schwingungsinstabilität rotierender dünner Scheiben mit zusätzlicher Stützung

Übersicht Die Schwingungen von rotierenden dünnen Schieben, die am Innenrand fest eingespannt sind, aber an einer Stelle des freien Außenrandes elastisch gestützt sind, werden unter Berücksichtigung der Flickraft analysiert. Hier wird eine Lösung der Bewegungsgleichung durch eine Reihe mit den orthogonalen Eigenformen einer gleichgelagerten nicht rotierenden Scheibe beschrieben, und es wird aus der Existenzbedingung der Koeffizienten eine charakteristische Gleichung eingeführt. Die Beziehung zwischen den Eigenfrequenzen und der Drehzahl sowie die Instabilitätsbereiche der freien Schwingungen werden dargestellt.

     

Der Spannungszustand in der rotierenden spröden Scheibe

Zusammfassung Es wird mit dem neuen nichtlinearen Elastizitätsgesetz spröder Körper unter der Annahme, daß Lochrand und Außenrand der rotierenden Scheibe kräftefrei sind, die Differentialgleichung des Problems aufgestellt und durch eine Näherung gelöst. Verschiebung und Spannungen werden als Funktion des Radius berechnet sowie eine einfache Formel für die Abhängigkeit der am Lochrand auftretenden Tangentialspannung von der Umlaufsgeschwindigkeit angegeben. Die Bachsche Vermutung, daß die Sprengfestigkeit praktisch gleich der Zugfestigkeit ist, wird bestätigt. Die Umfangsgeschwindigkeit, bei der der Bruch erfolgt, berechnet sich nach (47).Wenn auch die entwickelte Näherungsmethode den Bach-Grüblerschen Gegensatz erklärt, so ist trotzdem zu fordern, daß sie einer Prüfung durch den Versuch unterzogen wird, da erst nach Messung der Empfindlichkeiten der in Frage kommenden Werkstoffe die Frage entschieden werden kann, ob eine Erhöhung der zulässigen Geschwindigkeit sich mit den Fragen der Betriebssicherheit in Einklang bringen läßt.Zum Schluß danke ich auch an dieser Stelle Herrn Prof.Prandtl und der Notgemeinschaft der deutschen Wissenschaft für die Möglichkeit, in dem Göttinger Institut für angewandte Mechanik arbeiten zu dürfen.     

A theory of rotating elasto-plastic shrink fits

Summary The paper gives a rigorous theory of rotating elasto-plastic shrink fits under the assumptions of infinitesimal strain, ideal plasticity and validity of Tresca's yield condition. The plastic strain increments are computed by the associated flow rule. Furthermore, it is assumed that the shaft remains purely elastic during the entire loading history. It is shown that, below a limit speed, the plastic deformation is governed by one side of the Tresca hexagon only. Beyond this speed, a second face of Tresca's hexagon becomes involved. In this case plastic prestrains accumulated below the limit speed have to be considered. For both speed regimes, solutions comprising stresses and radial displacement are obtained. Finally a numerical example is given.

---

Eine Theorie rotierender elastisch-plastischer Preßverbände

übersicht Der Aufsatz gibt eine exakte Theorie des rotierenden elasto-plastischen Preßverbandes unter den Voraussetzungen infinitesimaler Verzerrungen, idealer Plastizität und der Gültigkeit der Trescaschen Fließbedingung. Die plastischen Dehnungsinkremente werden nach der zugeordneten Fließregel berechnet. Ferner wird vorausgesetzt, daß die Welle während der vollständigen Belastungsgeschichte rein elastisch bleibt. Es wird gezeigt, daß unterhalb einer Grenzdrehzahl die plastische Deformation von nur einer Seite des Trescaschen Sechsecks bestimmt wird. Oberhalb dieser Drehzahl wird eine zweite Seite des Trescaschen Sechsecks beteiligt. In diesem Fall müssen plastische Vordehnungen berücksichtigt werden, die unterhalb der Grenzdrehzahl entstanden. Für beide Drehzahlbereiche werden Lösungen abgeleitet, welche Spannungen und Radialverschiebung umfassen. Schließlich wird ein numerisches Beispiel angegeben.