一道IMO题的对偶式与面积解释

第２４届ＩＭＯ第６题是：在△ＡＢＣ中，ａ、ｂ、ｃ是三边长，求证：ａ２ｂ（ａ－ｂ）＋ｂ２ｃ（ｂ－ｃ）＋ｃ２ａ（ｃ－ａ）≥０．（１）文［１］指出了它的下述对偶形式：ａｂ２（ａ－ｂ）＋ｂｃ２（ｂ－ｃ）＋ｃａ２（ｃ－ａ）≤０，（２）并给出了统一的距离解释．即不等式（１）、（２）的几何解释为：三角形内Ｂｒｏｃａｒｄ点到内心的距离非负．受此启发，笔者研究了第６届ＩＭＯ第２题：在△ＡＢＣ中，ａ、ｂ、ｃ是三边长，求证：　ａ２（ｂ＋ｃ－ａ）＋ｂ２（ａ＋ｃ－ｂ）＋ｃ２（ａ＋ｂ－ｃ）≤３ａｂｃ，（３）发现它也有如下的…     

一道IMO数论试题的实多项式模拟

１９８８年,联邦德国为第２９届ＩＭＯ提供了下面这道有名的数论试题：已知正整数ａ与ｂ,使得ａｂ＋１整除ａ２＋ｂ２,求证ａ２＋ｂ２ａｂ＋１是某个正整数的平方．在［１］里,我们证明了如下的精确结果：若正整数ａ与ｂ使得ａｂ＋１整除ａ２＋ｂ２,则必有ａ２＋ｂ２ａｂ＋１＝（ａ,ｂ）２,这里（ａ,ｂ）是ａ和ｂ的最大公约数．在［２］里,我们把这个结果进一步地推广为如下形式：如果ａ、ｂ、ｃ都是正整数,使得０＜ａ２＋ｂ２－ａｂｃ≤ｃ＋１,那么ａ２＋ｂ２－ａｂｃ＝（ａ,ｂ）２,其中（ａ,ｂ）为ａ和ｂ的最大公约数．在…     

对一道IMO试题的解析

对一道ＩＭＯ试题的解析４３００６２湖北大学数学系沈华１９８８年，联邦德国为第２９属ＩＭＯ提供了下面这道有名的试题．已知正整数ａ与ｂ，使得ａｂ＋１整除ａ２＋ｂ２，求证：是某个正整数的平方．在ａ≥ｂ时，［１］通过下面的算式：断言，从而得到进而结出了如下的...     

评第36届IMO第2题

评第３６届ＩＭＯ第２题孙哲（沈阳市于洪区供销合作社联合社１１０１４１）１９９５年第３６届ＩＭＯ由俄罗斯提供的第２题是：设ａ，ｂ，ｃ为正实数，月．满足ａｂｃ＝１，试证：１．此题是一道陈题的变形．事实上，由ａｂｃ＝１．得ａ２ｂ２ｃ２＝１，代人ｍ得显然不等...     

一道习题的引申及其应用

高中代数（必修）下册Ｐ１５第１１题是这样的：求证：（ａ＋ｂ２）２≤ａ２＋ｂ２２．①此题即证明不等式ａ２＋ｂ２≥１２（ａ＋ｂ）２．证明极为简单,事实上,（ａ＋ｂ）２＝ａ２＋ｂ２＋２ａｂ≤ａ２＋ｂ２＋ａ２＋ｂ２＝２（ａ２＋ｂ２）,∴ａ２＋ｂ２≥１２（ａ＋...     

第三十七届IMO试题及解答

第三十七届ＩＭＯ试题及解答第二天１９９６年７月１１日４设正整数ａ，ｂ使１５ａ＋１６ｂ和１６ａ－１５ｂ都是正整数的平方．求这两个平方数中较小的数能够取到的最小值．（俄罗斯）５设ＡＢＣＤＥＦ是凸六边形，且ＡＢ平行于ＥＤ，ＢＣ平行于ＦＥ，ＣＤ平行于ＡＦ．又...     

一道IMO题的简证及加强

一道ＩＭＯ题的简证及加强３３０３０４江西永修县一中宋庆第３６届（１９９５年）国际数学奥林匹克试题第２题是：设ａ，ｂ，ｃ为正实数且满足ａｂｃ＝１．试证：证明由题设及均值不等式．易得其实，上题尚可进一步加强为如下命题若ａ，ｂ，ｃ为正实数且满足证明令ｘ，ｙ...     

一道课本不等式的加强及推广

一道课本不等式的加强及推广魏华（成都七中６１００１５）现行教材高中《代数》下册Ｐ３２第５题．已知ａ，ｂ，ｃ＞０，求证２（ａ３＋ｂ３＋ｃ３）ａ２（ｂ＋ｃ）＋ｂ２（ａ＋ｃ）＋ｃ２（ａ＋ｂ）．笔者发现：可将此不等式加强和推广为如下命题．已知ａ，ｂ，ｃ＞０...     

一道USAMO试题的推广与变形

一道ＵＳＡＭＯ试题的推广与变形刘培杰（哈尔滨出版社第三编辑室）美国数学奥林匹克（ＵＳＡＭＯ是美国中学生参加的级别最高的竞赛，试题均由专家提供，堪称一流．在１９７８年第７届ＵＳＡＭＯ上有一试题为题目已知ａ、ｂ、ｃ、ｄ、ｅ是满足ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＋ｅ＝８ａ２...     

一类范围问题的稳妥求法

一类范围问题的稳妥求法５５０００１贵阳市第六中学邢益民一次习题课上．我出了一道多元线性函数范围的问题：题已知２＜ａ＋ｂ＜４．１＜ａ－ｂ＜２．求４ａ—２ｂ的范围．多数学生给出了如下的解法：解法１由２≤ａ＋ｂ≤４（１）１≤ａ－ｂ≤２（２）（１）＋（２）得...     

关于《一道课本不等式的加强及推广》的补充

现行教材高中《代数》下册Ｐ３２第５题是已知ａ，ｂ，ｃ＞０，求证：２（ａ３＋ｂ３＋ｃ３）ａ２（ｂ＋ｃ）＋ｂ２（ａ＋ｃ）＋ｃ２（ａ＋ｂ）《数学通报》１９９７年第１２期刊登了魏华先生对此不等式的加强及指数推广（即文［１］），受其启发，本文再介绍此不等式的...     

一类有关虚二次域理想类群的指数丢番图方程

设Ｄ１、Ｄ２是适合Ｄ１≥１，Ｄ２〉１，ｇｃｄ（Ｄ１，Ｄ２）＝１的无平方因子正整数，ＩＫ是虚二次域Ｋ＝Ｑ（√－Ｄ１Ｄ２）的理想类群。本文证明了：如果存在正整数ａ、ｂ、ｋ以及奇素数ｐ，可使Ｄ１ａ＾２＋Ｄ２ｂ＾２＝ｋ＾ｐ，ｇｃｄ（ａ，ｂ）＝１，ｂ∈Ｎｐ，２├ｋ，其中Ｎｐ是所有不含２ｔｐ±１之形素因数的正整数的集合，则当ｐ〉５且ｍａｘ（Ｄ１，Ｄ２）≥１０＾１０＾１９７时，ＩＫ必有ｐ阶循环子群。     

也谈两个不等式的统一

《数学通报》１９９７年第１０期，给出了《数学通报》１９９６年第５期第１０１３题：“设ａ，ｂ，ｃ∈Ｒ＋，且ａｂｃ＝１，试证：１ａ３（ｂ＋ｃ）＋１ｂ３（ｃ＋ａ）＋１ｃ３（ａ＋ｂ）≥３２以及《数学通报》１９９７年第２期第１０５８题：在上题同样的条件下试证：...     

一个不等式的简洁证明

在江苏省吴县市召开的’９９全国不等式研究学术会议上,中国科学院成都计算机应用研究所杨路教授应用通用软件ＢＯＴＴＥＭＡ给出以下不等式的一个“机器证明”：若ａ、ｂ、ｃ为正数,则ａｂ＋ｃ＋ｂｃ＋ａ＋ｃａ＋ｂ＞２．这里,笔者给出此不等式的一个简洁的“可读证明”．证明　∵　（ｂ＋ｃ－ａ）２≥０,∴　（ａ＋ｂ＋ｃ）２≥４ａ（ｂ＋ｃ）,∴　１ｂ＋ｃ≥４ａ（ａ＋ｂ＋ｃ）２,∴　ａｂ＋ｃ≥２ａａ＋ｂ＋ｃ,同理可得　ｂｃ＋ａ≥２ｂａ＋ｂ＋ｃ,ｃａ＋ｂ≥２ｃａ＋ｂ＋ｃ．以上三式相加,且注意到三式等号不同时成立,便得ａ…     

一道夏令营选拔赛试题推广的加强与再推广

１９９２年江苏省数学夏令营选拔赛试题第二题：已知三角形的三边长为ａ，ｂ，ｃ．求证：２ａ２＋ｂ２＋ｂ２＋ｃ２＋ｃ２＋ａ２ａ＋ｂ＋ｃ＜３（１）文［１］将其推广为：已知三角形的三边长为ａ，ｂ，ｃ，λ∈［－２，２］，则２＋λ１ａ＋ｂ＋ｃ（ａ２＋λａｂ＋ｂ...     

用(a~2 b~2)(c~2 d~2)≥(ac bd)~2解三角题

高中《代数》（必修）下册第１５页第６题可改述为：（ａ２＋ｂ２）（ｃ２＋ｄ２）≥（ａｃ＋ｂｄ）２○＊当且仅当ａ／ｃ＝ｂ／ｄ时取等号．灵活巧妙地运用○＊式，可使某些三角问题简捷获解．例１已知Ａ，Ｂ都是锐角，且ｃｏｓＡ＋ｃｏｓＢ－ｃｏｓ（Ａ＋Ｂ）＝３／２，...     

MAXIMUM TREES OF FINITE SEQUENCES

ＭＡＸＩＭＵＭＴＲＥＥＳＯＦＦＩＮＩＴＥＳＥＱＵＥＮＣＥＳ￥ＷＵＳＨＩＱＵＡＮＡｂｓｔｒａｃｔ：Ｌｅｔｎ，ｓ１，ｓ２，．．．，ｓｎｂｅｎｏｎ－ｎｅｇａｔｉｖｅｉｎｔｅｇｅｒｓａｎｄＭ（ｓ１，ｓ２，．．．，ｓｎ）＝｛（ａ１，ａ２，．．．，ａ．）｜ａｉｉ...     

关于方程a~x b~y=c~z的Terai-Jemanowicz猜想

设ｍ是正整数,证明了：（Ａ）如果ｂ是奇素数,且ａ＝ｍ３－３ｍ,ｂ＝３ｍ２－１,ｃ＝ｍ２＋１, 那么丢番图方程 ａｘ＋ ｂｙ＝ｃｚ（１）仅有正整数解（ｘ,ｙ,ｚ）＝（２,２,３）;（Ｂ）如果ｂ是奇素数,且 ａ＝ｍ｜ｍ４－１０ｍ２＋５｜,ｂ＝５ｍ４－１０ｍ２＋５｜,ｂ＝ ５ｍ４－１０ｍ２＋１, ｃ＝ｍ２＋ １,那么丢番图方程（１）仅有正整数解 （ｘ,ｙ,ｚ）＝（２,２,５）．     

课本例习题的变式研究(高二)

一、不等式的性质和证明题１　（Ｐ７例２）已知ａ,ｂ∈Ｒ＋,并且ａ≠ｂ,求证ａ５＋ｂ５＞ａ３ｂ２＋ａ２ｂ３．评注　类似这道例题,课本上还有Ｐ８练习３,Ｐ１４例９．它们的条件与上例完全相同,结论分别要求证ａ４＋ｂ４＞ａ３ｂ＋ａｂ３和ａ３＋ｂ３＞ａ２ｂ＋ａｂ２．我们可以对这一问题加以推广．变式题　已知ａ,ｂ∈Ｒ＋,并且ａ≠ｂ,求证：ａｎ＋ｂｎ＞ａｍｂｎ－ｍ＋ａｎ－ｍｂｍ（ｍ,ｎ∈Ｚ,ｎ＞ｍ）．题２　（Ｐ８定理１）如果ａ,ｂ∈Ｒ,那么ａ２＋ｂ２≥２ａｂ（当且仅当ａ＝ｂ时取“＝”号）．评注　由ａ２＋ｂ２≥…     

一类分式不等式的统一证法

不等式ａ２＋ｂ２≥２ａｂ（ａ、ｂ∈Ｒ）及其变形的应用已被人们广泛研究，笔者在教学中发现：如用ａｂ、ｂλ分别代替ａ、ｂ得一含参数的不等式ａ２ｂ≥２ａλ－ｂλ２　（ｂ＞０，λ＞０，ａ∈Ｒ）（）利用（）可得一类分式不等式的统一证法：首先对要证的不等式进行适当变形，然后通过待定系数法求出λ，即得要证的不等式．这种证明方法具有思路单一，操作方便，学生易接受的特点．现以竞赛题、征解题为例进行说明．例１　设ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ＋，试证：ａ２ａ＋ｂ＋ｂ２ｂ＋ｃ＋ｃ２ａ＋ｃ≥ａ＋ｂ＋ｃ２．（《数学通报》１９９５年第…